渐开线内啮合园柱齿轮几何参数计算体系

作者：河海大学常州分校 胡瑞生

欢迎访问e展厅 展厅 2 齿轮/蜗轮蜗杆展厅 齿轮, 齿条, 锥齿轮, 齿轮轴, 蜗轮蜗杆,... 2008.1.1修正稿 前言 《漸开线内啮合圆柱齿轮》学科科研概况 内啮合圆柱齿轮目前在我国机械行业应用日增多,主要用途: 1. 作为《NGW行星传动》的零件; 2. 作为《少齿差传动机构》的零件(如一齿差差等); 3. 作为《三环减速机》、《摆环机》的零件; 4. 作为内啮合齿轮《油泵》的零件; 5. 作为《增速机械》、《风机机组》、《机床及其附件》的零件 等等。 漸开线内啮合圆柱齿轮发明历史久远,但目前国际齿轮标准化组织尚无专业标准,我国更无标准,尚未形成意见统一的几何参数计算体系,其关键在于内啮合几何干涉问题, 计算工作量大,设计手册的例题常见彼此转抄,独立创见者少,专家们众说纷纭; 尤其在内啮合齿轮強度校核方面科研薄弱,多数手册空谈理论缺实例,回避棘手难题,少数书本所举之例,安全系数 ≥3～5以上,贻笑大方,強度课题复杂性更甚于外啮合齿轮。 内啮合齿轮学科大致可分为:[几何尺寸设计计算]、[切削干涉与啮合干涉校验]、[強度校核]、[強度设计计算]以及这些方面的优化设计等方面。 《漸开线内啮合圆柱齿轮》即一项制造行业生产急需而尚无国家标准的项目！未知由谁牵头组织实施?正因为缺国家标准,近年网上出现不少打着 [内啮合齿轮设计计算]旗号的招商广告！谁敢轻信? 本文略去纯理论问题, 专谈设计计算。 先议 [几何参数计算体系] 作为基础知识。 对漸开线内啮合圆柱齿轮[几何尺寸计算体系], 国内专家学者们推导了许多种相互不同的理论公式,打开各种机械设计手册,信手可见 不胜枚举,众说纷纭、百家争鸣。 这必然导致生产实践人员无所适从,难以判断; 更使入门者茫然失措。 这也是引起内啮合齿轮产品质量不稳定 的原因之一。 我们作了多年研究与试验, 最终发现符合生产实践状态的[计算体系],可以定为: 第[1]步 → [df]1 = Mn·Z1－2.0·(han＋Con－ Xn1)·Mn 第[2]步 → [da]2 = df1 ＋2 ·A` ＋2·Con·Mn 第[3]步 → [df]2 = dao ＋2· Ao2 第[4]步 → [da]1 = df2 －2 ·A` －2·Con·Mn [da]1— Z1齿轮齿顶园 直徑 [da]2—Z2齿轮齿顶园 直徑 [df]1-- Z1齿轮齿根园 直徑 [df]2—Z2齿轮齿根园 直徑 [da]0— 插齿刀齿顶园直徑 [Ao]2—Z2齿插齿的中心距 [A`] -- 内啮合圆柱齿轮角变位中心距 [Mn] — 模数 [Z]1—Z1齿轮齿数 [Xn]1—Z1齿轮变位系数 [Co]n— 齿轮顶隙系数 [ha]n—齿轮齿顶高系数 以上公式是生产实践中完全可以测量到的实际尺寸,以此定义齿顶园、齿根园的理论公式, 核算中心距 [A`]相互不矛盾。 在此基础上研究几何干涉问题,符合生产实践情况。 我们曾作数千实例运算, 经生产实践考验无误,今先以实例举证: ★ [例证 ] 《机修手册》(P.11-65) 例题------------------ [ 己知条件 ] 中 心 距 [A`]= 114.000 [Z]1 齿 数 [Z]1 = 15.00 [Z]2 齿 数 [Z]2 = 60.00 模 数 [Mn] = 5.0000 齿 顶 高 系 数 [ha]n = 1.0000 [Z]1 变 位 系 数 [Xn1] = 0.1100 [Z]2 变 位 系 数 [Xn2] = 0.4240 刀 具 值 [ Zo] = 20.0000 刀 具 顶 圆 [dao] = 113.9000 变 位 系 数 [ Xo] = 0.0000 校核验证理论[计算结果] --------------------------------------------- .标准中心距 (X=0时) [Aon] = 112.500000000000 端 面 啮 合 角 [ α`] = 21.9779042917149 法面变位系数之和 [Xn]12 = 0.314440193824856 [Z1]齿 变位系数 [Xn]1 = 0.109999999403954 [Z2]齿 变位系数 [Xn]2 = 0.424440193228809 [Z]1 分 度 圆 直 径 [dt]1 = 75.0000000000000 [Z]2 分 度 圆 直 径 [dt]2 = 300.000000000000 [Z]1 齿 基 圆 直 径 [db]1 = 70.4769456727113 [Z]2 齿 基 圆 直 径 [db]2 = 281.907782690845 .[Z]1 节圆 [dj]1 = 76.0000000000000 [Z]2 节圆 [dj]2 = 304.000000000000 插齿啮合角 [jo2] = 22.8653805227563 [Z2]插齿的中心距 [Ao2] = 101.983055854644 顶隙係数 [con] = 0.300000011920929 标准齿全齿高(X≡0) [h] = 11.2500000000000 变位齿全齿高(X≠0) [h] = 11.8830566205634 [Z1] 齿顶圆压力角 [αa]1 = 35.7740709389910 [Z2] 齿顶圆压力角 [αa]2 = 16.5555377245657 [Z]1 节 圆压力角 [αj]1 = 21.9779042917150 [Z]2 节 圆压力角 [αj]2 = 21.9779042917150 [Zo] 刀具齿顶圆压力角 [jaZo] = 34.4099375025536 [Z]1 外 齿 顶 圆 [da]1 = 86.8661131159571 [Z]1 外 齿 根 圆 [df]1 = 63.0999998748302 [Z]2 内 齿 根 圆 [df]2 = 317.866113235166 [Z]2 内 齿 顶 圆 [da]2 = 294.099999994040 .齿轮不变位时节圆周节 [ p] = 15.7079648971558 [Z1] 变位节圆周节 [ p]1 = 15.9174045560452 [Z2] 变位节圆周节 [ p]2 = 15.9174045560452 齿轮不变位分度圆齿厚 [Sf] = 7.85398244857788 [Z1] 变位时分度圆齿厚 [Sf]1 = 8.25434968850630 [Z2] 变位时分度圆齿厚 [Sf]2 = 6.30914654313698 几 何 干 涉 条 件 验 算 齿廓重叠干涉检验,合格 [G]s = 1.088040 重合度计算结果,合格 [ξ] = 1.771861 建立内啮合【几何参数计算体系】的意见 列举参数计算体系、公式及运算步骤 如下: 己知数据: 中心距 Aop 己知数据: Mn、Z1、Z2、Xn1、han、β=0 己知刀具数据: Zo、 dao、 Xo 作校核设计计算 [关于未知Aop 的设计计算, 大致雷同, 本文从略] 法面中心距 Mt = Mn / Cos(β) 端面中心距 Aot = 0.50 ·Mt ·(Z2-Z1) 端面啮合角 [α`] = Acos [ Aot·cos(20) / Aop ] invα` = tan(α`) –α` 暂取压力角α12 =20 (直齿) invα12 = tan( 20 ) - 20 ΣXt = 0.5·(Z2-Z1)·(invα-inv α12)/ tan(20) 法面变位系数之和 ΣXn = ΣXt· Cos(β) [777]中心距[初值] [A]o = Aot ·cos(20) / cos(α`) 中心距[圆整值] [Ao]p =0.005·int (ww4 /0.005 +0.50 ) [800] 分配 [ ΣXn ]、确定[han] 己知 Xn1 = Xn1 作校核设计计算 [Z1]齿 变位系数 值 [Xn]1 Xn1 如何取值, 属于[几何优化设计问题],本文从略 [Z2]齿 变位系数 值 [Xn]2Xn2 = Xn1 + ΣXn [Z]1 分 度 圆 直 径 [dt]1dt1 = Mt·Z1 [Z]2 分 度 圆 直 径 [dt]2dt2 = Mt·Z2 [Z]1 齿 基 圆 直 径 [db]1db1 = Dt1 ·cos(20) [Z]2 齿 基 圆 直 径 [db]2db2 = Dt2 ·cos(20) [820] [Z]1节圆 [dj1] = 2.0·Aop·Z1/(Z2-Z1) [Z]2 节圆 [dj2] = 2.0·Aop +dj1 [822] 插齿啮合角 [jo2] invjo2 = invα12 +2(Xn2-Xo)·tan(20) /(Z2-Zo) ee1 = sqrt (9.0 ·invjo2 +1.0) ee2 = (ee1 -1.0)/1.50 ee3 = ee2 ··(1.0/3.0) ee4 = sin(ee3) / (invjo2 + ee3) ee5 = Acos( ee4)ee6 = sin( ee5) /( invjo2 +ee5) jo2 = Acos( ee6 ) [828] 标准中心距 (X=0时) [Aon] = 0.5·Mn·(Z2- Z1) [Z2]插齿中心距 [Ao2] = 0.5Mn·(Z2-Zo)·Cos(20)/Cos(jo2) [830]如( Mn>0.5.and.Mn<=4.00) 则 tt1 = 0.25 如( Mn>4.00.and.Mn<=6.00) 则 tt1 = 0.30 如( Mn>6.00 ) 则 tt1 = 0.25 顶隙係数 Cn = tt1 [840] .[Z]1 齿 根 圆 [df]1 df1 = dt1 -2.0·(han +Cn-Xn1)·Mn [Z]2 齿 顶 圆 [da]2 da2= df1 +2.0·Aop +2.0·Cn·Mn [Z]2 齿 根 圆 [df]2 df2 = dao +2.00·Ao2 .[Z]1 齿 顶 圆[da]1 da1 = df2 -2.00·Aop -2.0·Cn·Mn [850]标准齿全齿高(X≡0)[h] = 2.25 ·Mn 变位齿全齿高(X≠0) [Σh] [Σh] = 0.50·(da1-df1) [Σh] = 0.50·(df2-da2) [855] 压力角 [Z1] 齿顶圆压力角 [αa]1 jat1 = Acos (db1/da1) [Z2] 齿顶圆压力角 [αa]2 jat2 = Acos (db2/da2) [Zo] 刀具齿顶圆压力角 [jaz]jaz = Acos[ Mn·Zo ·Cos(20)/dao ] [860] 周节 齿轮不变位分度圆齿厚 [Sf] [Sf] = π·Mn/ 2 [Z1] 变位节圆周节 [p]1[p]1 = π·Mn·Cos(20)/ cos(α`) [Z2] 节圆周节[p]2 [p]2 = π·Mn·Cos (20)/cos(α`) [Z1] 变位分度圆齿厚[Sf]1Sf1 = 0.5·π·Mn + 2 Xn1·Mn·tan(20) [Z2] 变位分度圆齿厚 [Sf]2 Sf2 = 0.5·π·Mn –2 Xn2·Mn·tan(20) [900]几 何 干 涉 条 件 验 算 [A] e1 = Mn·Z1·Cos(20)/2 ee2 = Mn·Z2·Cos(20)/2 www = (ee2- ee1)/cos(α`) – Aop 如 (www = 0) 则检验[基圆] 数据正确符合内啮合传动 基本啮合规律转→→步序 902 否则, 数据有误,不符合内啮合传动基本啮合规律 , Stop, 转→→步序911 [902] tt6 = (dj2 - dj1)/2.0- aop, 如(tt6 = 0 ) 则 [B] 检验 [节圆] 数据正确 符合 内啮合传动 基本啮合规律 转→→步序 905 否则, 数据有误,不符合内啮合传动基本啮合规律, Stop, 转→→步序911 [905] 检验 [Gs] -------------- aaa = da2·da2-da1·da1 fff = (aaa-4·Aop·Aop)/(4·Aop·da1) ggg = (aaa+4·Aop·Aop)/(4·Aop·da2) [906] 如 [ abs(fff) >1.0] 则 齿廓干涉【Gs】无法运算 Stop 转→→步序 911 否则, 转→→步序 915;[908] 如[ abs(ggg) >1.0] 则 齿廓干涉[Gs] 无法运算 转→→步序 911 否则, 转→→步序 915 [911] 原方案, 无法计算 修正基本参数 [α`] 修正基本参数 [Xn]1 修正基本参数 [han], Stop 如 [ Zc =Z2-Z1 =1.0 ] 则 可用α` = 55.18 xn1 = 1.5han = 0.75 试算转→→步序 777 [915] xxx = Acos( fff) yyy = Acos( ggg) invja1 = tan(jat1) -jat1 invja2 = tan(jat2) -jat2 invα` = tan(α`) -α` ww1 = (Z2 -Z1) ·invα` ww2 = Z1·( invja1 + Xxx )ww3 = -Z2·( invja2 + Yyy )Gs = ww1 + ww2 + ww3 [920] 如( GS >0) 则 齿廓重叠干涉检验, 合格 [Gs]转→→步序 1000 [921] 如 [Gs<0 ] 则 不合格,齿廓重叠干涉 [Gs] 转→→步序 922 [922] 修正 [han] = han·0.995修正 [xn1] = Xn1·1.005转→→步序 777 [1000] tt1 = Z1·tan(jat1)-Z1·tan(α`)tt2 = Z2·tan(jat2)-Z2·tan(α`) ZhD = 0.5·(tt1 –tt2)/π 如(Zhd>0 ) 则 重合度计算结果--合格 [ξ]转→→步序 2000 如(Zhd<0 ) 则 重合度,不合格 [ξ] [1100] 修正 [han] = han·1.005 修正 [xn1] = Xn1·0.995转→→步序 777 [2000]END 按照上列计算步骤,就可得到内啮合齿轮副不发生干涉的、正确的全部几何结构尺寸。 我们还进行过总计【18种】 几何干涉与特性验算: Z1 齿 顶 宽; Z2 齿 顶 宽; 径向进刀顶切; 范成展齿顶切; Z1 滚齿根切; Z2 滚齿根切; 径向装配干涉; 齿顶、齿根干涉; 过渡曲线干涉; Z1/Z2 齿顶间顶隙量; Z2/Z1 齿顶间顶隙; Z1齿顶渐开线干涉; Z2齿顶渐开线干涉; 节点对顶干涉; [df1.da2]尺寸矛盾验算; [df2.da1]尺寸矛盾验算 受篇幅限止,本文只能删削从略。 十余年来我们计算过数万次内齿轮, 并在工厂作了试制实验。证明上述【几何参数计算体系】正确、可靠、可在生产中应用。己编制带优化设计计算的详细软件。 最后声明:本文仅仅涉及几何体系, 以上为校核设计计算的程序, 关于 优化几何设计的程序,和[强度设计] 问题, 非本文主题,从略。该部份内容程序较复杂。目前国内专著不多,非短小论文所能解决,但[计算体系]是先决前提,否则更乱了。(end)

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