1 前言
随着经济建设的发展，工程设计人员需要有更系统、更科学的设计思想和方法，以达到提高产品开发效率、节约原材料、降低成本及提高产品质量的目的，结构优化设计则是实现这些目的较佳手段[1]。由于设计变量类型的不同，结构优化设计可以分为由易到难的四个不同层次：尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑布局优化。由于拓扑优化设计的难度较大，被公认为是当前结构优化领域内最具有挑战性的课题之一。但是在工程应用中，拓扑优化可以提供概念性设计方案，取得的经济效益比尺寸优化、形状优化更大，因此，拓扑优化技术对工程设计人员更具吸引力，已经成为当今结构优化设计研究的一个热点。本文结合作者的研究工作，对结构拓扑优化的发展和研究现状进行了回顾，并介绍了拓扑优化技术在发动机零部件设计中的成功应用案例。
2 拓扑优化设计的研究概述
结构拓扑优化按其研究对象的不同，一般分为两类：桁架类结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化。而目前的研究成果主要是从桁架结构拓扑优化方面发展起来的。1904 年Michell 对桁架结构拓扑优化进行研究，他用解析方法研究了一个载荷作用下应力约束的结构，得到重量最轻的最优桁架所应满足的条件，后来称为Michell 准则，并把满足Michell 准则的桁架称为Michell 桁架。这是结构拓扑优化设计理论研究的里程碑。Michell 理论在近几十年得到了重要发展。Cox证明了Michell 桁架就是最小柔度设计；Hegeminer等将Michell 准则推广到刚度、动力参数优化以及非线性弹性等情况；Hemp纠正了其中的一些错误，求解了多种不同荷载形式下Michell 桁架的具体形式；Rozvany对Michell 桁架的唯一性以及杆件的正交性做了讨论，对Michell 准则做了进一步修正，求解了多种不同边界约束条件下Michell 桁架的具体形式；周克民等采用有限元方法计算出了Michell 桁架。这些研究对于整个结构优化学科的发展都有深刻的意义。
必须指出，对于Michell 桁架的研究，均是在上个世纪60 年代以后的事情，正是在那时由于有限元方法、数学规划法和计算机的发展导致结构优化成为一门独立学科，数值方法成为重要手段，截面与几何层次的优化发展为拓扑层次的研究提供了基础。这个时期代表性的研究工作开始主要是以1964 年Dorn，Gomory，Greenberg等提出的“基结构法”为基础，广泛开展连续体结构拓扑优化研究。1988 年，Bends.e 和Kikuchi从程耿东和Olhoff等在最小柔顺性实心弹性薄板优化设计的研究工作中得到启迪，引入了具有空心的单胞微结构，提出了基于均匀化理论的均匀化方法和连续体拓扑优化的概念，开创了结构拓扑优化设计研究的新局面。随后，通过Tenek 和Hagiwara、程耿东和王健、周克民和胡云昌 等人的研究，发展和推进了变厚度法理论的应用。
变密度法则是受均匀化方法的启发而发展的，它不必构造微结构，而是人为地引入一种假想密度在0～1 之间可变的材料，以材料密度为拓扑设计变量，直接定义一个经验公式来表达密度与弹性模量间假定的函数关系，这样结构的拓扑优化问题就被转换为材料的最优分布问题。1999 年Bends.e 和Sigmund 证实了该方法物理意义的存在性。曾金玲和雷雨成等 利用变密度法将拓扑优化技术成功应用于汽车零部件的设计和改进。吴中博和李书则在航天航空方面利用变密度法拓扑优化技术解决工程问题。变密度法避免了均匀化方法的微结构构造，但是代之以人造密度的假定，造成最终必须处理中间密度的困难，这就要求研究人员具有丰富的拓扑优化设计经验，避免优化结果出现棋盘格、分析不收敛等问题。本文案例则全部基于变密度法，所以下文阐述了变密度法的基本原理。
受结构静力拓扑优化发展的推动，近年来，在结构动力拓扑优化研究方面也取得了一些令人鼓舞的进展。Lim 等用均匀化方法对膜结构进行了多个固有频率极大化的拓扑优化，Kikuchi 等 用改进的均匀化方法求解了特征值拓扑优化问题，Min 等利用均匀化和直接积分方法对冲击载荷作用下的薄板结构进行了拓扑优化设计。Xie 等用进化结构优化方法对连续体结构频率约束问题进行了拓扑优化，包括最大化或最小化指定阶频率，最大化指定两频率间间隔等问题，随后又对结构随机响应约束下的连续体结构进行了拓扑优化。
2 拓扑优化案例
利用澳汰尔公司OptiStruct 商业优化软件，作者在多种发动机产品开发和技术改进项目中，对发动机零部件进行拓扑优化设计，改善结构性能，实现了产品的自主创新设计。
2.1 发动机主轴承座的拓扑优化设计（位移作约束）
发动机运转期间，主轴承座承受多种载荷，这些载荷包括：螺栓预紧载荷、轴瓦过盈载荷及曲轴动载荷等。目前，主轴承座的主要评价指标是结构的强度、刚度是否满足设计需求。在明确主轴承座承载情况和设计要求的前提下，作者对某大马力发动机原有主轴承座进行了最大爆发压力工况下的有限元分析，分析模型及主轴承座轴瓦径向变形量见图1（a）、图1 （b）和图1（c）。通过主轴承座的强度分析和动态疲劳安全系数分析可以得知：主轴承座的动态疲劳安全系数为1.843，远远大于安全系数阀值1，所以主轴承座的强度足以满足设计需求。而从图1（b）可以得知轴瓦在变形后水平方向径向减小0.0739mm ，已经接近曲轴、轴瓦径向间隙最小值0.079mm，这容易导致曲轴与轴瓦间缺少油膜润滑，形成干摩擦，最终导致曲轴磨损加剧，发动机动载荷增加，甚至机毁人亡的悲剧；另外从图1（c）可以得知轴瓦在变形后上下方向径向增加0.0971mm ，小于轴瓦径向变形许可值0.147mm 。所以，根据有限元分析结果可以判断：主轴承座在水平方向的刚度不足够，应该改进现有结构，提高其刚度性能。
图1 发动机主轴承座有限元分析模型及轴瓦径向变形图
图2 发动机主轴承座拓扑优化模型和优化后的几何模型图
根据上述分析，作者针对主轴承座水平方向刚度小的问题，建立了以下拓扑优化模型：
设计变量为整个主轴承座的单元相对密度；约束为轴瓦水平方向半径变形量小于0.030mm； 目标为主轴承座质量最小。通过18 次迭代，优化后的主轴承座拓扑形状和光滑后的几何形状如图2 所示。将所得优化模型重新进行主轴承座强度、刚度校核，通过计算可以得知，优化后的主轴承座较原有主轴承座质量轻了6.87%；动态疲劳安全系数为1.833，强度指标略微下降0.54%，但依然远远超过安全系数阀值1，所以优化后的主轴承座仍满足设计强度需求；通过安装优化主轴承座后的轴瓦变形量分析，可以得知，轴瓦在变形后水平方向径向减小0.0626mm ，较原有安装情况下的轴瓦变形减小15.29%，同时远小于曲轴、轴瓦径向间隙最小值0.079mm，所以优化后的主轴承座已满足水平刚度要求；虽然安装优化主轴承座后的轴瓦在变形后上下方向径向增加0.0974mm ，较原有安装情况下的轴瓦变形增大0.27%，但依然满足小于轴瓦径向变形许可值0.147mm 的刚度要求。因此，优化后的主轴承座取代了原有设计方案，并实现了结构创新设计。
2.2 发动机后悬置支架的拓扑优化设计（应力作约束）
重型车上的发动机后悬置支架因为经常承受较大的动载荷而断裂，导致严重车祸，因此，该结构应该保证具有足够的动态安全储备系数。为了降低产品开发费用，缩短生产周期，某重型车发动机后悬置支架在开发设计阶段要求校核结构强度。在进行有限元分析时，考虑发动机后悬置支架经常承受较大范围的动载荷，因此计算时增加了相应的安全系数，载荷变化范围设在：-4Fz ～ + 6Fz 之间，Fz为发动机后悬置支架匀速行驶于平路上的载荷。通过有限元分析和动态疲劳安全系数分析，从图3 的疲劳安全系数分布云图中可以得知，该支架的最小安全系数为0.87，小于安全系数阀值1，因此该支架设计方案不满足强度设计要求。
根据设计要求，在不改变该支架基础拓扑形状的基础上，通过增加加强筋的方式提高发动机后悬置支架强度。因此，作者以支架的单元相对密度为设计变量；以支架危险处的应力作为约束，用支架质量最小为目标，在优化过程中还增加了制造约束条件，保证所得结果能够制造。通过29 次迭代，得到了图4 所示的拓扑优化形状(图4（a）)和光滑处理后的几何形状(图4（b）)。并将所得优化支架进行强度校核，优化后的支架安全系数分布云图如图5 所示，支架最小安全系数转移到新加筋的根部，值为1.03，大于安全系数阀值1，而原有支架危险处的安全系数升高到1.30，所以，优化后的发动机后悬置支架已经满足强度设计要求。
图3 发动机原有后悬置支架疲劳安全系数云图
图4 发动机后悬置支架拓扑优化模型和优化后的几何模型图
图5 优化后的发动机后悬置支架疲劳安全系数云图
2.3 发动机排气制动阀支架的拓扑优化设计（频率座约束）
排气制动阀支架主要起支撑发动机涡轮增压器的作用。某发动机排气制动阀支架在使用过程中出现断裂，为了找出断裂原因，对该支架进行了强度校核和排气系统模态分析，强度分析模型和系统模态分析模型分别见图6(a)和图6(b)。
图6 支架有限元分析模型和系统模态分析模型
经过支架的静态强度校核和动态疲劳安全系数分析，其危险点疲劳安全系数云图如7 所示，支架的最小安全系数为1.267，已经大于人们默认的结构安全最小阀值1，所以支架在静态和动态载荷作用下已经满足结构的强度需求，不会导致支架损坏。另一方面，通过模态分析发现系统沿发动机横向1 阶振动固有频率为103.7 Hz，支架振型如图8 所示，其中灰色结构为没有发生振动的形态，深色结构为系统沿发动机横向1 阶振动时支架的振型。而该发动机在常运转转速下要求支架系统固有频率必须在110 Hz 以上，所以可以判断支架损坏主要是由于共振造成的。根据上述结论，为避免支架损坏，只需要在满足现有结构强度的基础上，提高支架系统的第一阶固有频率。
图7 支架疲劳安全系数分布云图
在进行动态优化设计时还存在与静态优化设计完全不同的难题。首先，动态的目标函数不像静态目标函数那么稳定。例如，在频率拓扑优化设计过程中，由于各阶模态振型容易切换，从而导致以固有频率为目标的标准函数不再光滑。第二，动态拓扑优化时，目标函数的灵敏度分析可能是非连续的。第三，如果动态拓扑优化设计成为一个非凸性求解问题，适用于静态拓扑优化设计的迭代原理在此时就失去作用，导致迭代终止，优化无法进行。由于这些原因，动态拓扑优化设计在工程实际上的应用受到了较大的限制。本文在进行支架的频率拓扑优化设计时，综合考虑上述三点，建立了以支架频率为约束的优化模型，并且采用模态追踪控制，避免了模态振型之间的相互切换。经过25 次迭代，拓扑优化后的模型和光滑后的几何模型分别如图9(a) 和图9(b)所示。
图8 原支架系统一阶固有频率振型（103.7 Hz ）
图9 支架频率拓扑优化模型和优化后的几何模型图
优化后的支架经过与原支架在相同条件下进行静、动态强度分析和模态分析，优化后的支架动态疲劳安全系数都大于8，整个支架受力均匀，没有应力集中部位，强度较原有支架大大提高；而且优化后的支架系统沿发动机横向1 阶振动固有频率达到111.5 Hz，该频率已经达到目标要求；另外，通过质量分析对比，该支架比原有支架减轻25.2% ；化后的支架还简化了原有支架的加工工艺，一方面降低了生产成本，另一方面减少了冲压过程中形成弯角褶皱的风险。
3 结论
根据本文发动机各零部件拓扑优化的例子成功展示了拓扑优化技术是一个非常有用的工具，让设计师可以根据产品的性能要求，在指定的设计空间内快速、准确的实现产品设计，另一方面，可以通过拓扑优化改善结构性能、减轻产品质量，并找到一种全新的设计方案。(end)
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