摘 要：提出一种新的通用性更好的计算方法。该方法应用于实际生产的感应加热装置上，不仅可设计特殊需要的温度分布，而且可对温度场进行分析和模拟。试验结果表明双频加热淬火比单频加热淬火获得更好的表面硬化质量。尽管通常双频加热淬火比传统的单频加热淬火费用更昂贵，但在某些情况下证实还是节约的，在特殊情况下是唯一的工艺方法。
关键词：双频感应淬火；温度场；计算
引 言
双频淬火装置如图1，其包含两只并排的感应器分别供给不相同频率的电流。上感应器通入较低的频率，工件移动使加热深度较深(低频率)；而下感应器通入较高的频率，工件移动使加热深度较浅，此深度相当于所需的硬化层厚度。
1 工件； 2，3 频率分别为f1和f2的感应器； 4，5 磁芯(导磁体)
图1 双频淬火装置简图
选择两只感应器的功率使上感应器加热工件到居里温度，下感应器在相同时间内沿着顺磁性的工件加热到淬火温度。要设计双频淬火装置的各种参数，有必要作系统的电磁计算，但在专门的文献中缺乏适当的计算方法介绍［1］。
1 轧辊双频感应淬火的数学分析
1.1 简化的假设和计算模型
求解双频感应淬火过程的电磁问题是一个复杂的数学问题，困难在于系统零件的有限尺寸、工件电磁参数的非线性变化以及感应器移动速度对特征现象的影响。充分考虑所有的这些因素，则解法复杂，以致于无法实用。于是在对解答的精确性影响不大的前提下，引入三类简化的假设：
(1)有关工件-感应器系统的几何形状假设：
a.以无限长的轧辊代替有限长度的加热工件；
b.以有限高度和微小厚度的环代替有限尺寸感应器；
c.一个无限长的圆柱体代替两个有限尺寸感应器的磁芯。
(2)有关工件电磁参数的假设：
a.淬火加热过程可以分成两个阶段。第一阶段，铁磁性工件仅仅由频率f1的感应器在一定厚度内加热到居里温度(这厚度近似等于穿透深度即趋肤深度)；第二阶段，频率为f2的感应器加热的工件可分两层，外层是顺磁性材料(μr=1)，而内层是仍保持高导磁率的铁磁性材料，参数μ和σ在每一层的体积内作为一常数。
b.两层中导磁率可由众所周知的方法［2］为基础计算得到，为简化起见内层的导磁率均作为无穷大；
c.把频率f1感应器加热得的表面铁磁性层厚度与频率f2感应器加热得的表面顺磁性层厚度看作相等。
(3)为了避免积分方程式的问题而假设：
a.不计感应器的移动速度；
b.把工件沿着坐标线Z=0分开，这样把每半只轧辊均看成无限长，照图2的两种情况分别计算，然后将得到的介于适当的区内结果进行合并。
图2为考虑所有这些假设的计算模型。
图2 工件“分开”后的计算模型
1.2 矢热微分方程式的通解
从麦克斯韦尔(Maxwell)方程式计算推出矢势的微分方程式，在圆柱体坐标中有下列形式［3、4］：
式中：
m2=jωμσ；
ω＝2πf电流脉动数(即角频率)；μ——介质的导磁率；σ——介质的电导率
电磁场矢量可用A以下列形式表示：
式中：
E——电动势；
B——磁感应强度；
J——涡流密度
方程式(1)的特解可由分离变量法求出，为
A(r,z)=[C(k)I1(pr)+D(k)K1(pr)]]×[F(k)coskz+G(k)sinkz] (4)
式中：C(k),D(k),F(k),G(k)——积分常数
I1，K1，I0，K0——修正的贝塞尔(Bessel)函数
k——分离变量常数
p=(k2+m2)1/2 (5)
方程式(1)的通解是(4)式的所有特解形式的总和，于是：
在图2的特殊计算区间中，(6)式的解有多种形式。事实上从应用的观点出发，最本质的是工件的外层(区域Ⅱ)，仅仅这个区域解的结果如下：
式中：p1=k2+jω1μ21σ21
p2=k2+jω2μ22σ22
符号Ⅱ表示计算的Ⅱ区域，而记号1和2分别表示频率f1［图2(a)的情况］和f2［图2(b)的情况］感应器的有关量。
表达式(7)中出现的积分常数可用矢势并符合图2的边界条件求出，有
式中：μi——在i区域中的导磁率
式中：I1，I2——频率f1和f2的感应电流；
n1,n2——频率f1和f2的感应器匝数
H，h——感应器1、2分别对应的工件长度(见图2)
基于边界条件(9)算出积分常数，于是求得工件的矢势。
式中：N1=K1(kR3)I0(kR4)+I1(kR3)K0(kR4)
N2=K0(kR2)I0(kR4)-I0(kR2)K0(kR4)
N3=K1(kR2)I0(kR4)+I1(kR2)K0(kR4)
N4=I1(p1R2)K0(p1R1)+K1(p1R2)I0(p1R1)
N6=I0(p1R1)K0(p1R2)-K0(p1R1)I0(p1R2)
M4=I1(p2R2)K0(p2R1)+K1(p2R2)I0(p2R1)
M6=I0(p2R2)K0(p2R1)-K0(p2R2)I0(p2R1)
x1=p1/k；x2=p2/k (12)
μr1,μr2——在图2(a)和(b)情况中的相对导磁率
1.3 工件中磁感应强度、涡流密度和有效功率密度
区域Ⅱ中与(3)式相一致的磁感应强度有二个分量BrII和BzII，按式(11)可得下式：
由于矢势(11)式的微分无实际意义，这也就没有给出磁感应强度的表达公式，但轧辊表面(r=R2)的磁感应强度分量(Bz)通过(13)式借助于计算机算出，结果示于图3中。
工件上的涡流密度按(3)式可得：
轧辊表面(r=R2)的涡流密度按上式计算，结果示于图4中。
工件表面的有效功率密度可按下式计算：
由(14)得：
按式(16)计算的有效功率密度示于图5中。
2 轧辊双频淬火试验
根据上述计算，上感应器选用50 Hz，下感应器保持1000 Hz频率。轧辊双频淬火试验的同时，对轧辊的温度分布进行了测量，结果见图6.
1，2，3，4，5，6离表面不同的距离的温度分布
图6a 双频感应淬火时的温度分布
(离轧辊表面的距离)
A淬火加热始瞬间温度；B通过50 Hz感应器后的温度；
C通过1000 Hz感应器后的温度；D喷雾的瞬间温度
图6b 轧辊的截面Ⅰ的温度分布
由图6a可知，淬火过程的温度的分布有三个最高点，第一个最高点(t=3 min)相应于预热后的温度，第二个最高点(t=21 min)相应于通过50 Hz感应器后的温度，第三个最高点(t=25 min)相应于通过1000 Hz感应器后的温度。图还表明，适当的淬火温度开始于工件温度250 ℃后的第16分钟，精确来说大约加热仅10分钟，第27分钟后喷雾，处理即结束。淬火中轧辊的温升平均速度大约是1.2 ℃/sec，辊身截面的温度分布见图6b.与单频淬火得的温度分布相比，可以看出：轧辊表面在深度30 mm内的温度差，后者约210 ℃，而前者仅120 ℃，从而保证得到更厚的硬化层和较小的硬度梯度(图7).
(离轧辊表面的距离)
1一次预热的单频感应淬火；
2一次预热的双频感应淬火
图7 轧辊的截面硬度分布
3 结 论
1.双频感应淬火的上述计算方法具有较强的通用性和实用性。
2.双频淬火较单频淬火能使工件获得更好的性能(表面硬度，截面硬度梯度、硬化深度)，并提高工效和降低能耗。
参考文献：
［1］ Wieczorek T W.Przeplyw energii w procesie indukeyjnego hartowania dwuczostotliwosciowego walcow stalowych przeznaczonych do walcowania na zimno［J］.Rozprawa doktorska. Politechnikn, Katowice 1975,78(4)：78-85.
［2］ Rodigin N M.Indukcjonnyj nagriew stalnuch izdielej［M］.Moskwa：Metallurgizdat,1950.
［3］ Buchholz H.Elektrische und magnetisbe Potentialfoelder［M］.Moskwa：Russian,1961.
［4］ Smythe W R.Static and dynamic electricity［M］.Moskwa：Russian,1984.(end)
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