建立钻头的数学模型是对钻头进行几何设计、制造、切削性能分析和对钻削过程进行建模的基础。第一个钻头数学模型由Galloway D F于1957年提出。他推导了直线刃钻头前刀面的参数方程，给出了主刃前、后角和横刃斜角的定义、计算公式和测量方法，提出了“把钻头后刀面作为钻头在刃磨过程中与砂轮相互作用后形成的磨削锥的一部分”的观点。20世纪70年代初期，Fujii S 等人对Galloway D F提出的模型进行了进一步研究，提出采用割平面法，将三维空间曲面后刀面化为二维平面曲线进行分析，并开发了一个麻花钻计算机辅助设计程序。1972年，Armarego E J A和Rotenbery A发现：后刀面锥面刃磨法有4个独立的刃磨参数，而一般给出的钻尖几何参数只有3个，因此不能唯一确定钻尖后刀面形状和刃磨参数。为此，他们提出用后刀面尾隙角作为补充几何参数，以获得刃磨参数的唯一解。1979年，Tsai W D和Wu S M证明：锥面钻头、Racon钻头、螺旋钻头和Bickford钻头等的后刀面都可以用二次曲面来表示，并提出了表示钻头几何形状的综合数学模型，该模型可用于控制刃磨过程。1983年，Radhakrishnan L等人提出了十字钻尖钻头后刀面的一个数学模型。他们将后刀面分为第一后刀面和第二后刀面：对第一后刀面，以Tsai模型为基础，建立了一个改进的锥面模型；对第二后刀面，建立了一个平面模型。Fugelso M A则提出了圆柱面钻尖的数学模型。1985年，Fuh K H等人建立了一个用二次曲面表示的钻头后刀面数学模型，以便用计算机将其设计成椭球面、双曲面、锥面、圆柱面或它们的任意组合。
长期以来，人们一直将麻花钻的主刃设计为直线。1990年，Fugelso M A发现，由于要求锥面麻花钻的主刃为直线，使靠近钻芯处的主刃后角变得过小，如果在刃磨之前，将钻头绕自身轴线旋转5°～10°，就可以解决这一问题，只是主刃将变得微微弯曲。同年，Wang Y将主刃看作曲线，利用多项式插补方法建立了钻头螺旋前刀面的几何模型。1991年，Lin C和Cao Z提出了一种适合于直线和曲线刃，采用锥面、柱面和平面后刀面的麻花钻综合数学模型。1999年，Ren K C和Ni J提出用二项式表示任意形状的主刃曲线，钻头前刀面采用新的数学模型，并用向量分析方法，建立了二次曲面后刀面的刃磨参数与几何参数之间的关系。
2.2 钻头的结构优化
由于广泛使用的锥面麻花钻的切削性能并不理想，人们一直致力于对其结构（参数）和刃磨方法进行改进，先后提出了200多种互不相同的钻头形状，以改善其切削性能。其中，Shi H M 等人提出了通过改变主刃走向控制主刃前角分布的方法，并于1990年开发出使钻头主刃上各点前角均达到可能的最大值的曲线刃麻花钻。1987年，Lee S J在考虑钻头偏斜的条件下，以消除钻削过程中钻尖的摆动现象为目标，提出了对钻头结构进行优化设计的方法。1995年，Selvamhe S V和Sujatha C在研究麻花钻的变形时，用有限元方法对钻头几何形状进行了优化，得出的使钻头变形最小的结构参数优化值（钻头直径25mm）为：螺旋角39.776°，横刃斜角Ψ=54°～80°，锋角120°。1997年，Chen W C提出了一种特殊截形的厚钻芯麻花钻，既具有足够的扭转刚度，又具有合理的主刃和横刃前角分布。2005年，Paul A等人为确保优化钻头的可加工性，提出了一种基于刃磨参数的新钻尖模型，并用它对锥面钻尖、Racon钻尖和螺旋面钻尖进行了优化，以使其切削力达到最小。
2.3 螺旋沟槽截形和加工工具截形的计算
1975年，Dibner L G提出了一种可以简化磨削螺旋沟槽砂轮截形计算、提高沟槽加工精度和完全排除砂轮直径变化影响的方法。1990年，Ehmann K F提出了一个基于微分几何和运动学原理的求麻花钻螺旋沟槽加工工具截形的方法。1998～2003年，Kang D C和Armarego E J A对螺旋沟槽加工的“正问题”和“反问题”（“由沟槽截形求工具截形”和“由工具截形求沟槽截形”）进行了研究，提出了直线刃麻花钻螺旋沟槽设计和制造的计算机辅助几何分析方法。
2.4 关于群钻与微型钻头的研究
1982年，Shen J等人建立了群钻的第一个数学模型。利用该模型，人们可以多次重复地磨制群钻。1984年，Chen L和Wu S M对9种典型群钻进行了研究，改进了群钻的数学模型，为群钻的计算机辅助设计提供了可能。1985年，Hsiao C和Wu S M提出了用计算机对群钻进行辅助优化设计的具体方法。1987年，Fuh K H 提出了一种利用综合二次曲面模型和有限元方法设计和分析群钻的方法。Liang E J则提出了一个基于知识库技术的群钻刃磨CAD/CAM集成系统。1991年，Liu T I采用一种两阶段策略设计和优化了一种加工机轴注油孔用群钻。1994年，Huang H T等人推导了群钻切削刃的工作法后角和法前角的公式，提出了考虑内刃和圆弧刃之间过渡区的群钻精确几何模型。2001年，Wang G C等人应用一种倾斜立体块方法，建立了群钻新的数学模型，解决了已有模型存在的横刃几何形状不确定的问题，保证了所设计群钻的可加工性。
1992年开始，Lin C、Kang S K、Ehmann K F和Chyan H C等人组成的研究小组对微型钻头进行了系统研究。1992年，他们建立了平面微型钻尖的数学模型，提出了相应的刃磨方法。1993年，他们又提出了螺旋面微型钻尖的数学模型和刃磨方法，并发现螺旋面微型钻尖在几何方面和切削性能方面均优于常用的平面微型钻尖。1997年，他们指出：螺旋面微型钻尖与平面微型钻尖相比，具有两个方面的优点：①在同样的工作切削角度分布条件下，可以允许更大的进给量；②刃磨方法更简单，且不易受刃磨误差的影响。2002年，他们制造出加工微孔用曲线刃形螺旋后刀面系列钻尖。
用分析方法建立的钻削力模型是随着人们对切削过程认识的深入而逐步出现的。1955年，Oxford用显微照片记录下钻头主刃和横刃的切屑变形过程，并通过实验发现：钻削过程中，在钻尖上存在三个主要的切削区域，即主刃切削区、第二切削刃（横刃）切削区和钻芯附近的刻划区。稍后，Shaw M C和Oxford C J Jr证明了横刃在钻削加工中的重要性，因为它产生了50%～60%的轴向力。1966年，Cook N H提出了一个用半分析法推导钻削力公式的方法。Shaw M C(1962、1984年)在对切屑变形机理进行深入研究的基础上，提出了钻头主刃的切屑变形模型。Williams A R(1974年)提出了一个基于单点刀具二维切削模型的钻头主刃切削力模型，并确定了钻头刻划区的直径。Armarego E J A(1972年)应用斜角切削理论，提出了平面钻尖切削力预报模型。Wiriyacosol S(1979年)等人根据切屑变形的薄剪切区（剪切平面）理论，将钻头主刃和横刃看作一系列与切削条件有关的单元斜角或直角切削刀具的组合，通过累加这些单元刀具的切削力来预报钻削力，即单元刀具线性综合法。在剪切平面理论的基础上，Oxley C J Jr(1959、1962年)、Armarego E J A(1972、1979年)和Waston A R(1985年)分别建立了不同的钻削力模型；Stepenson D A(1988、1989年)提出了计算钻削力的数学方法。
3.2 钻削力建模的发展
对于钻削力建模的研究是随着人们对各种新型钻头和钻削工艺的开发而不断深入的。Wu S M等人在建立群钻切削力模型方面做了大量工作。其中，Lee S W(1986年)和Fuh K H(1987年)以工作切削角度为准，对主切削刃使用斜角切削模型，对第二切削刃使用直角切削模型，建立了群钻的切削力模型；Huang H T（1992年）等人提出了一个用普通麻花钻的力学模型预报群钻轴向力和扭矩的方法。Armarego E J A和Zhao H(1996年)建立了薄钻芯标准麻花钻、薄钻芯多沟槽钻和圆弧中心刃麻花钻切削力预报模型。Bhatnagar N(2004年)等人研究了用4种不同的钻尖钻削各向异性纤维补强复合材料时工件的非预期损坏，建立了钻削轴向力和扭矩的模型。Sahu S K(2004年)等人提出了带断屑槽锥面麻花钻的切削力预报模型，该模型用具有四种不同断屑槽的钻头进行标定，可适用于具有任意断屑槽形状的钻头。Elhachimi M(1999年)综合应用直角和斜角切削模型建立了高速切削钻头的切削力模型，在转速为4000～18000r/min、进给量为0.12～0.36mm/r时，实验结果与模型预报值一致。Wang L P(1998年)等人提出通过对组成主刃和横刃的单元刀具的振动分析得到整个钻头的动态力学特性，并据此建立了振动钻削过程中动态轴向力和扭矩的预报模型。
随着研究的不断深入，研究人员发现，由于结构的差异，过去已经建立的力学模型不能适用于新的钻型。为此，Stepenson D A(1992年)采用一个用大量车削实验标定的单元刀具斜角切削力模型，建立了用任意刃形硬质合金或镶嵌硬质合金钻头钻削灰铸铁时的主刃扭矩、轴向力和径向力预报模型。Lin G C (1982年)和Watson A R(1985年)指出，对钻削扭矩和轴向力的低估是由于排屑干涉，这一发现最终导致了单元刀具非线性综合法的产生，也使用分析方法建立复杂刃形钻头的切削力模型成为可能。Wang J L(1994年)研究了切削过程中的排屑干涉，应用单元刀具非线性综合法，建立了基于经验性单元刀具斜角切削力模型的任意刃形钻头的切削力模型。
除了钻头的基本几何形状以外，钻削过程中的许多因素都会对钻削力产生影响。1996年，Chandrasekharan V等人考虑了钻头的制造和刃磨误差如两主刃的等高性、半径误差、轴向偏斜等的影响，建立了锥面钻头完整的三维切削力模型，随后又将其拓展到预报任意形状钻尖钻头（如群钻）的切削力。Sriram R在考虑了钻头刃磨和安装误差对钻削力影响的条件下，建立了预报钻削径向力的模型。2001年，Gong Y P和Ehmann K建立了一个综合考虑到钻头几何特性、刃磨和安装误差以及钻头偏斜对主刃和横刃动态切削厚度和切削面积影响的微孔钻头轴向力、扭矩和径向力模型。
3.3 钻削力建模方法
随着科技的进步，建立预报钻削力模型的方法也在不断发展。1997年，Islam A U和Liu M C提出了用人工神经网络预报群钻轴向力和扭矩的方法，其训练用数据直接从文献资料中提取。2001年Kawaji S等人也提出了一种用神经网络模型估计和控制钻削轴向力的方法：①离线构建一个轴向力神经网络模型；②以该模型为基础，通过在线最小二乘法训练，建立一个模拟神经控制器；③将经过训练的神经控制器应用于钻削系统，得到轴向力。1999年，Chen Y应用有限元方法分析具有刃口圆弧半径刀具的斜角切削过程，建立了一个用有限次任意刃形钻头标定的任意刃形钻头钻削力模型。2004年，Strenkowski J S等人用一个欧拉有限单元模型模拟组成切削刃的单元刀具的切削力，提出了用有限元技术预报麻花钻轴向力和扭矩的方法。2002年，Yang J A等人提出了一种用I-DEAS CAE软件系统实现的钻削过程仿真模型，可以预报动态钻削力。
