摘要：借助于Virtual.Lab 中的Correlation 模块，CAE 工程师可以完成分析/试验模型的相关性分析并能根据结果对模型进行修正，从而得到更为准确的有限元模型。本文介绍了相关性的实现方法及其基本理论，并完成了某车型车门模型的相关性分析和模型修正。结果表明使用LMS Virtual.Lab 中的Correlation 模块，能够快速准确的完成分析/试验模型的相关性分析及模型修正工作，且具有很强的工程实用意义。
关键词：模态置信度准则 相关性分析 模型修正
1 概述
在现代汽车设计中，CAE 分析的优势日益显现，分析结果的快速获得，使汽车设计的周期大大缩短，在设计初期分析取代大量的试验，使设计成本大大降低。然而，固然有限元模型在处理复杂结构上具有明显的优势，但仅凭工程师的经验欲建立一个与试验结果相一致的有限元模型是比较难的，尤其当结构比较复杂时。没有一个正确的数学模型，进行后续的响应分析或对原设计做出相应修改也就没什么意义了。
结构模态在结构设计中起到很重要的作用，它是结构设计的一个目标。进行结构模态分析，了解和掌握其动力学特性，是进行结构减振设计的前提条件。模态分析可以通过模态试验和模态计算两种途径实现。在满足一定试验可靠度的前提下，模态试验的结果可作为验证模态计算结果正确性的标准，这种验证通过两者的相关性分析实现。
试验/分析相关性分析即定义为：不断识别和减少测试和仿真分析误差达到满意水平的迭代过程。它是分析过程，特别是整车分析过程中一个重要组成部分。相关性分析在可接受的范围内时，才能使用该仿真模型为后续的产品设计开发提供支持。
2 试验/分析模型相关分析及相关准则
试验/分析模型相关分析是用来判断试验/分析模型在一定准则上的相符程度的。目前依据判断准则的不同可分为频率相关分析、频率及振型相关分析、交叉正交性分析和频响函数相关分析。下面将对各种相关分析做一些讨论。
（1） 频率相关分析
固有频率通常是动力学分析中最基本的参数，而且比模态向量更容易准确测量（仅限于低阶固有频率，高阶固有频率比低阶固有频率更容易受有限元模型离散程度的影响）。测量频率ω t与计算频率ω A 之间的相关程序常以下面的百分数表示：
但是，在某些频率非常靠近的情况下，仅靠频率比较就很难判断测量与计算模态之间的对应关系。
（2） 频率及振型相关
将固有频率作为状态变量的同时，引入振型作为状态变量，可以加大修正过程中选择修正变量的灵活性，提高模型修正的准确性。对于衡量振型相关，一般采用MAC（Modal Assurance Criteria）矩阵。
ψij是MAC 矩阵中的元素，每个元素代表了两个振型间夹角余弦。其中，Φi 和 Φj 分别是第i 阶和第j 阶振型向量，MAC 矩阵中的各元素可以表示计算模态与试验模态的相关程度，MAC 阵的非对角元素越小，各阶模态的区别就越明显，对角线元素越接近1，试验模态和计算模态的符合程度就越高。
（3） 交叉正交相关分析
在振型向量的相关分析中，尽管使用MAC 是标准做法，但MAC 并不是正交检验。正交检验通常指的是模态向量对质量矩阵的正交性。交叉正交性检验是一种判断计算模态向量与试验模态向量相关程度的简单方法，两组振型之间的交叉正交性定义为
式（3）矩阵中的每个元素代表了分析振型 ΦA 与试验振型 ΦX 的相关程度。当试验模态向量与分析模态向量对分析质量矩阵正交时，对角元素将全为1，而非对角元素的值为0。
此种方法简单，但在大多数情况下，由于分析模型与试验模型的自由度是不一致的，需要做质量矩阵的缩减或模态向量的扩展。用扩展模态来进行正交检验，其计算量及误差将随有限元模型的自由度的增加而变得相当大；如果采用质量矩阵缩减，将带来不同的缩减技术将导致不同的正交性误差的问题。
（4） 频响函数相关分析
这里主要介绍频率响应模型的正交性和频率响应函数模型置信准则SAC。
频率响应模型的正交性由下式给出：
上式表示计算模型的动刚度矩阵的测试得到的频率响应函数矩阵的乘积应该为单位矩阵。
而频率响应函数模式置信准则SAC 是对计算得到的频率响应和测试响应进行相关分析。SAC 可以表示为
其中 Heij(ωk) 是j 点激励、i 点响应的频响函数在ωk 处的值。显然，SAC 等于1 表示两者是线性相关的，等于零表示两者线性无关。
3 相关性计算
本文以图1 所示的车门有限元模型和试验模型来说明如何进行有限元模态与试验模态的相关性计算及优化。
图 1 车门有限元模型与试验模型
首先，将试验模型作为参考模型，使车门有限元模型与之相关联。在工程实际中的相关性分析中，试验模型与有限元模型在空间和几何上出现不协调的现象是经常会遇到的（如图2 所示），这曾给工程师在模型的处理上带来了一定的困惑，而使用LMS Virtual.Lab 的Correlation 模块可以通过对齐、缩放、映射使模型在几何上匹配起来，很容易的处理几何上不谐调的两个模型（如图3 所示）。
第二步，有限元模态结果缩减。一般而言，计算模型的自由度总数远大于试验模型的自由度总数。要解决这个问题，或者是按照模型减缩原则，将有限元模型减缩到试验模型的自由度上，或者是将试验模型的振型扩展到有限元的自由度上。在数学上模型的减缩和扩展在求解过程中是一致的，但是将试验模型的振型扩展到有限元的自由度上会增加问题的复杂性，因此，工程实际中经常采用自由度缩减，将有限元模型所见到试验模型的自由度上，产生所谓实验分析模型（Test Analysis Modal，简称TAM），在TAM 中保留的自由度与试验中传感器的一致。在 LMS Virtual.Lab 中主要采用Guyan 缩减，将传感器所在的自由度作为正自由度予以保留，得到TAM 模型（如图4 所示）。
图 4 TAM 模型
第三步，模态置信度计算。LMS Virtual.Lab 中提供基于模态的相关性分析算法（Modal-Based Correlation）和基于传函的相关性分析算法（FRF-Based Correlation），本次分析中采用最常用的Modal-Based Correlation 法完成了车门的模态相关性计算。
MAC 矩阵是评价模态向量空间交角的一个很好的工具，由式（2）可知，MAC 值应介于0～1 之间。由于有限元模态与试验模态不可能完全满足正交性，目前还没有统一的标准来判断怎样的相关性是好的或可接受的，测试-分析-开发工程师组成的小组可以决定相关性的可接受性，工程中一般认为80%的模态振型相关性和5%的模态频率误差是可以接受的。
由图 5 及表1 中的模态匹配结果可以得到：尽管大多数仿真模态与试验模态的振型比较接近，即相关性值大于0.8，但是还是有一些模态的相关性值在0.8 以下，有的甚至低于0.3。下面我们将通过模型修正，使有限元模型的模态频率和振型都更接近于试验模态的频率和振型。
图5 试验振型 EMA 和仿真振型FEA 的MAC 值柱状图
表1 MAC Mode Pair Table
 4 有限元模型的修正
4.1 试验与分析结果的误差分析
依据工程中的相关经验，有限元分析结果与试验结果之间的误差主要来源有：
（1）刚度误差：零件间点焊联接比固接的刚度要低，车身模型中零件间采用固接联结方式，这比车身实际的点焊、螺栓等联结方式的刚度要高。
（2）质量误差：模型简化略去了对整体结构力学性能影响较小的结构及小零件，忽略了螺栓联结部分的螺栓、螺母的质量和其他如油漆、阻尼材料等附属质量。这样，有限元模型质量比实际质量要小。
（3）计算及试验的误差：在理论假设、结构离散、迭代计算过程以及信号采集、处理过程中，产生不可避免的误差。
在工程计算中，来自计算与试验中的误差因素不可避免，但可通过灵敏度计算，适当调整有限元模型上的刚度和质量分布，减小模型在刚度和质量方面的误差。
4.2 灵敏度计算
灵敏性计算是计算目标值与设计变量之间的偏导数，这里是取结构件1-8 的厚度和材料的弹性模量作为设计变量，计算有限元的模态频率和传感器测量点的模态位移对设计变量的灵敏性值，然后根据模态位移对设计变量的灵敏性值进一步计算出相关性值MAC 对设计变量的灵敏性值。计算结果见图7。
图6 设计变量示意图
（a） 模态频率对设计变量的灵敏性值 (b) 相关性值MAC 对设计变量的灵敏性值
图 7 模态频率对设计变量的灵敏性值和相关性值MAC 对设计变量的灵敏性值
从图7 可以看出，对模态频率和相关性值MAC 影响比较大的是结构件的厚度，并且件4 的敏度最高，因此我们主要将通过优化结构件的厚度来修正有限元的模型。
4.3 模型的修正与优化
模型修正一般人工修改和基于优化分析的参数化修改。通常，通过人工修改并不是很容易就能达到理想效果的，而使用基于优化分析的模型修正法可以避免工作的盲目性，提高工作效率。在VL中可以构造误差函数作为目标函数，并以模型的物理参数如板厚、材料的杨氏模量等作为设计变量，最小化目标函数，从而得到修改后的模型。按下式构造误差函数
其中，RT=试验数据；RA=分析结果；WR=响应的加权矩阵；PF=模型最后的参数；PO=模型最初的参数；WR=模型参数的加权矩阵；wt=试验数据的总加权值；wp=模型参数的总加权值
根据上式，通过迭代优化过程，寻找最终的模型参数向量PF，并且用最少的模型参数修改量使E 最小化，达到模型修正的目的。
本例中的优化设置如下：
约束条件：模型总重不大于原来的110%；
目标函数：误差函数最小，即MAC 值最大化。
优化结果见表3：
对优化后的模型做相关性分析，结果如图8 和表4 所示：
图 8 优化后试验振型EMA 和仿真振型FEA 的MAC 值柱状图
表4 Optimization MAC Mode Pair Table
 由图8 和表4 知，优化后仿真振型与试验振型的正交性良好，仿真模型的主要阶次的模态置信度MAC 均提高到0.8 以上，其模态频率和振型都更接近于试验模态的频率和振型。
优化前后模型频率对比见表5：表 5 优化前后模型频率对比
 由表5 可知，优化前后仿真模型的频率值变化不大。
5 结论
本文以某车型车门的模态分析/试验相关性分析为例，验证了LMS Virtual.Lab Correlation 模块在相关性分析中的有效性，并且为其他方面的相关性分析的实现提供了方法上的借鉴。综合以上分析结果，所得结论如下：
1. 在本文的算例中，通过相关性分析及灵敏度计算修正了仿真模型，将其模态置信度由最低的0.4 提高到了0.8 以上，使仿真结果更接近于试验结果，提高了仿真模型的可信度。实践表明，在工程实际中使用LMS Virtual.Lab 中的 Correlation 模块进行相关性分析是可行的；
2. 该相关性研究为该车门的结构改进与优化设计提供了可靠的模态参数，通过模态修正提高了仿真模型的精度，并为进一步动力学响应分析提供了可靠的模型依据。
参考文献
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