摘要：机械结构的建模和仿真具有典型的大运动工作循环特征，传统上使用刚体的数学模型进行处理。长久以来，这些建模和仿真的执行都是在MBS系统中实现的。这种类别的典型的产品例子包括各种各样的机器人和操作系统。
近年来，针对大数据量有限元模型高效计算而快速发展起来的基于并行开发技术的电脑硬件技术使得采用基于有限元技术的软件应用系统计算运动学仿真成为可能。这篇文章报告了使用三种不同的表达方式，对一个执行大转动、大位移工作循环的测试机器人进行分析的对比，这些数学表述方式为：
当前的工作是VISP研究项目的一部分。VISP是7个研究机构在配置、建模、仿真和可视化方面的合作项目。他们是瑞典的皇家科学研究院，Skövde大学，IVF andLinköping大学等。VISP的目标是开发一个高效、柔性和工业相关的建模和仿真方法学和与定制产品模式和产品规划配置生产系统的实现集成的辅助信息平台。
关键字：建模、仿真、多体动力学系统、有限元
1. Introduction 介绍
机械结构的建模和仿真具有典型的大运动工作循环特征，传统上使用刚体的数学模型进行处理。长久以来，这些建模和仿真的执行都是在MBS系统中实现的。这种类别的典型的产品例子包括各种各样的机器人和操作系统。
近年来，针对大数据量有限元模型高效计算而快速发展起来的基于并行开发技术的电脑硬件技术使得采用基于有限元技术的软件应用系统计算运动学仿真成为可能。这些方法的共同的特点是他们使用不同类型的有限元模型缩减技术，从而获得较快的计算速度和足够的精度。对于采用部件模态综合法的MBS软件而言这些缩减或者condensation方法同时也被视作求解柔性体多体动力学的基础。这些缩减方法中的其中一种数学表达方式与多体动力学软件ADAMS当前使用的通过导入Sellgren给出的缩减的有限元模型定义柔性体方法一致。这篇文章报告了使用三种不同的表达方式，对一个执行大转动、大位移工作循环的测试机器人进行分析的对比，这些数学表述方式为：
1. 使用刚体模型的ADAMS计算
2. 通过导入缩减的有限元模型的ADAMS柔性体多体计算模型
3. 通过使用针对运动计算的缩减的有限元模型的FEDEM柔性体有限元模型。
测试机器人是一个简单的机械臂，主要功能是执行一个拾取和放置两个测试用物体的操作，其中一个物体重2.5kg，另一个是10kg。机器人和文中涉及到的各个部位的命名如下图示。
图一 I-DEAS模型（左） ADAMS模型（右）
这些对比的目的是为了给出就以下问题上的一些亮点。
·什么时候使用柔性体模型
·决定使用哪种方法的主要标准是什么？
·什么时候使用FEDEM会比ADAMS取得更还的效果。
为了进行这项研究，我选择了以下标准对这些不同的模型进行评估。
1. Dimensioning of bearings 轴承的载荷
2. Dimensioning of drive motors 马达的功率
3. Demands on path following 路径跟随需求
加速度的需求和限制没有包括在研究范围之内。
2. Modeling of the robot 机器人建模
机器人的几何模型是使用EDS公司的I-DEAS三维CAD软件建模的。机器人包括三个矩形管状截面的臂，臂3和臂2的壁厚为5mm，臂1的壁厚为10mm。臂2和臂3是直筒型，臂1是一个底部较宽的梯形结构，更多的数据参见附录1.拾取和放置操作是通过预先指定三个轴上的运动实现的，见表1和图2。
Figure 2. Motion constraints on the robots three axes.
机器人大约650 mm高，每个臂320 mm长，启动位置如图一所示，以工具中心点位置按照图三所示曲线移动（全局坐标系下）
图三.工具中心点的运动曲线
此坐标适用于刚性机器人模型和没有结构弹性修正的理想路径。这些曲线将用于弹性模型的路径曲线对比所需参照标准。
2.1 Modeling motion constraints运动约束建模
因为ADAMS和FEDEM的基本的数学体系的不同，所以运动约束建模在ADAMS和FEDEM中各不相同。ADMAS是基于拉格朗日运动学方程的多体系统仿真软件。FEDEM在某方面讲是基于有限元技术的多体动力学系统，其零部件的数值处理方式为有限元超单元模型，连接副采用刚性弹簧建模[Fedem 2001]。
2.1.1 Motion constraints in ADAMS ADAMS中的运动约束建模
在ADAMS中，运动约束可以在系统建模时使用运动副单元描述和施加。为了实现这个目的，ADAMS提供了许多易于积分的、用于描述初始加速度小的光滑运动的预定义函数。这样的函数的例子有阶梯函数（STEP function），如图四。这个函数被应用于本例中测试机器人的运动约束建模。
图四角运动中的阶梯函数例子
2.1.2 Motion constraints in FEDEM FEDEM中的运动约束
在FEDEM和其它的有限元建模系统中，运动约束必须转变成一个给定预期运动的力。这种方法之所以可以用于求解是因为一个基准轴被定义为一个定位并黏附于一个6自由度节点的刚度合适的弹簧。对于弹簧和轴线而言，与时间相关的运动是以分段线性函数来定义的。在分析中，这个函数使用所需的被转变为轴上的转矩作用的角位移对该轴施加增量。这种描述运动的线性函数产生一个数值非常难于积分的初始的恒定速度还有一个初始瞬间无穷大的加速度。
图5 在FEDEM中使用分段函数进行运动约束建模的例子
我所用过的解决此类问题的一个可行的方案是将速度定义为分段线性函数，并使用FEDEM中的控制系统的能力对速度进行积分，从而得到所求的运动。通过选择单位增量时间Δt我还确定了加速度，在这片分析报告中，我选择的Δt=0.1T。使用这种方法，我们可以得到从零开始的速度和以恒定加速度开始的加速度值。
2.2 Evaluation criteria 评估标准
依照列出来的这些标准评估这些不同的建模方法，我可以研究轴2的方作用力，这是决定轴承的尺寸非常重要的基础参数。多求的臂2运动所需的驱动扭矩是决定马达功率的一个基础因素。并且相对于图3的理想路径将被用于评估路径精度。
3. Reaction forces in axis 2 轴2的反作用力
首要的问题是研究轴2的反作用力。轴2上的这些力在不同的时刻都是变化的，当轴1转动120度进行拾取操作时，轴2上的力最大。使用跟随机器人移动的轴2上的局部坐标系求解该力，如图6所示：
图6 在局部坐标系下计算反力
第一次计算研究机器人拾取和放置2.5kg 重物时的工况。分别采用了三种数学模型计算了轴2 上的反力，如图7，8 和9 所示.图7 采用ADAMS 的刚体模型，图8 采用ADAMS 柔性体模型，图9 采用FEDEM 柔性体模型。
Figure 7 Reaction forces using a rigid ADAMS model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object.
Figure 8 Reaction forces using a flexible ADAMS model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object.
Figure 9 Reaction forces using a Fedem model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object
如图7-9 所示，在图4 所示的坐标系下，X 方向在整个时间段内是最大的分力，其值在50N-75N 之间。图7-9 中X 方向的反力的对比如图10 所示。
Figure 10 Comparison of reaction forces in axis 2 for moving a 2.5 kg object using
different modeling approaches.
考虑物重对整个操作过程的影响，采用了10kg 的重量，分析了相同的拾取和放
置操作过程，如图11，12，13 所示。
Figure 11 Reaction forces using a rigid ADAMS model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
Figure 12 Reaction forces using a flexible ADAMS model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
Figure 13 Reaction forces using a Fedem model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
按照计算拾取和放置2.5kg重量的物体过程时相同的观点，我们发现最感兴趣的力是图6中的X方向分力。
图14是如图11-13所示的采用三种不同的方法分析的结果所求的X方向反力对比。
Figure 14 Comparison of reaction forces in axis 2 for moving a 10 kg object using different modeling approaches.
3.1 Conclusions 结论
对于轴承荷载的确定，我们从图7-14 得到的结论是：在轻载荷时候（机器人的相对刚度非常大），采用刚性的ADAMS 模型计算，精度是足够的。在重载荷的时候，采用刚性的ADAMS 模型计算所求的结果偏大，如果信任这些计算结果就会导致选取过高承载能力的轴承。为了获得更高精度的轴承载荷评估，推荐采用FEDEM 的柔性体模型。不过ADAMS 的刚体计算模型仍可以作为早期阶段的初次评估。
4 Driving torque in axis 2 轴2的驱动力矩
第二项任务是研究轴2 运动所需的驱动力矩。轴2 上的扭矩在不同的时刻都是变化的，当轴1 转动120 度进行拾取操作时，轴2 上所需的驱动扭矩最大。
第一次的分析针对以抓取和放置 2.5kg 重的物体时的工况进行的。轴2 驱动转矩的计算采用了三种不同的数学模型，，如图15，16，17 所示。图15 使用了ADAMS 刚体模型，图16采用了ADAMS 柔性体计算模型，图17 采用了FEDEM 计算模型。
Figure 15 Driving torque using a rigid ADAMS model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object.
Figure 16 Driving torque using a flexible ADAMS model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object.
Figure 17 Driving torque using a Fedem model, in axis 2 for moving a 2.5 kg object
三种不同的建模方法所求得的驱动转矩对比参见图18：
Figure 18 Comparison of driving torque for moving a 2.5 kg object using different modeling approaches.
为了说明所传输物体的重量对系统的影响，采用10kg 的物体进行了相同的抓取和放置操作，如图19，20，21 所示。
Figure 19 Driving torque using a rigid ADAMS model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
Figure 20 Driving torque using a flexible ADAMS model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
Figure 21 Driving torque using a Fedem model, in axis 2 for moving a 10 kg object.
Figure 22 Comparison of driving torque for moving a 10 kg object using different modeling approaches.
4.1 Conclusions 结论
因为驱动马达额定功率的确定与轴承荷载的确定方法相同，所以可以从图7-14得出以下结论：在轻载荷时候（机器人的相对刚度非常大），采用刚性的 ADAMS 模型计算，精度是足够的。在重载荷的时候，采用刚性的ADAMS 模型计算所求的结果偏大，如果信任这些计算结果就会导致选取过高功率的马达。为了获得更高精度的所需输入功率评估，推荐采用FEDEM 的柔性体模型。不过ADAMS 的刚体计算模型仍可以作为早期阶段的初次评估。
5. Path following at TCP 工具中心点的路径追踪
第三项任务是研究不同模型的路径精度。所选择的方法是对比ADAMS 刚体模型计算出的理想路径与ADAMS柔性体模型和FEDEM模型分别计算所得的路径的偏差。最大的偏差会发生在高度方向，如Z 方向。同先前的分析一样，我们以机器人拾取和放置2.5kg 物体的操作为研究对象进行分析。
Figure 23 Deviation in Z direction for a flexible ADAMS model for moving a 2.5 kg object.
Figure 24 Deviation in Z direction for a Fedem model for moving a 2.5 kg object.
为了说明所传输物体的重量对系统的影响，采用10kg 的物体进行了相同的抓取和放置操作，如图25，26 所示。
Figure 25 Deviation in Z direction for a flexible ADAMS model.
Figure 26 Deviation in Z direction for a Fedem model.
5.1 Conclusions 结论
从图23-26 所示的曲线我们可以看出ADAMS 柔性体模型的Z 方向偏离非常小，即便是增加载荷的情况下也是如此。
Figure 27 TCP Z position for a flexible ADAMS model and a Fedem model.
Figure 28 Deviation in Z direction for a Fedem mode, zoomed in at t=2.0 sek.
6 Final discussion 最后结论
在这个研究项目中我选择了评估三种不同的建模方法：一个刚体ADAMS模型，一个柔性体ADAMS模型和一个柔性体FEDEM模型。这些建模方法就以下的标准进行了评估：
1. Dimensioning of bearings 轴承荷载
2. Dimensioning of drive motors驱动马达功率
3. Demands on path following 路径跟随要求
对于轴承荷载和输入原动力，我们得到的结论是：小载荷的情况下（作用在相对刚硬的机器人上），一个刚体的ADMAS模型是可以满足计算需要的。不过，对于更大的载荷情况下ADAMS刚体模型就会计算出一个导致超尺寸的轴承和输入动力的严重偏高的荷载。为了获得轴承载荷的更高精度的评估，并确定输入动力的最大转矩，柔性的模型就非常必要，最好是一个FEDEM的模型。不过ADAMS刚体模型也可以用于早期的初次评估。
关于着三个准则，如路径跟随精度，很难得出哪一个模型给出了最精确的路径的确切结论，但是当前的结果表明的ADAMS柔性方法和FEDEM的柔性方法给出了同等精度的计算结果。对比柔性体ADAMS模型和FEDEM模型的路径精度的主要障碍是FEDEM模型和ADAMS模型使用不同的数学方法去指示所需的TCP路径。
解决这个问题的一个办法是执行一个反向的运动学分析，测量三个轴的实际的转角位置，并用这些测量数据控制ADAMS和FEDEM的转动。
不过，这种方法在客观上的不足是我不知道是否有可能使用这些测量数据去控制FEDEM的模型。(end)
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