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阀芯曲线拟合算法
作者:孙晓鹏于春生
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摘要:提出一种计算机拟合阀芯曲线的算法,以一系列相对开度得到一系列相对流量,从而产生不同的理想流量特性,该算法可用于阀芯的CAD和CAM。
关键词:阀芯曲线;二次Bezier曲线;流量特性

调节阀理想流量特性取决于阀芯曲面形状。对某种口径而言,用不同的阀芯,在调节阀前后压差一定的条件下,以一系列相对开度得到一系列相对流量,从而产生不同的理想流量特性。目前在实际工程设计中,为了设计出某些指定理想流量特性的阀芯回转曲面,如典型的直线型和等百分比型等,需用大量实验得到一系列离散的纬线圆直径数据,然后用曲线板手工拟合出回转曲面转向轮廓线的投影曲线,并以此曲线做为加工该曲面的母线。显然,这种人工拟合曲线误差很大,且无法实现CAD和CAM。本文给出一种计算机拟合曲线的算法,可用于阀芯的CAD和CAM。

阀芯曲线如图1,曲线上P0至P2m是工作段。端部至S是一段半径为R的圆弧。P2m为过渡段,用光滑曲线过渡。设计阀芯曲线时,根据不同口径和指定理想流量特性的需要,给定型值点Pi=x2i,f2i),i=0,1,2,…,m和端部圆弧半径R,圆心(XC,YC)。


图1阀芯曲线

1数据检查

本算法首先检查设计数据是否合理,对于合理的数据自动判别不同的情况,拟合出阀芯曲线。

首先,理想的阀芯曲线应是一条对数特性曲线[1],给定的数据Pi=x2i,f2i),i=0,1,2,…,m,这里x0<x2<x4<…<x2m,应近似在对数曲线上,因此二阶差商[2]应满足



f[x2i,x2(i+1),x2(i+2)]>f[x2(i+1),x2(i+2),x2(i+3)]i=0,1,2,…,m-2(2)

当(1)式不满足时,曲线有波浪,说明数据给错了;当(2)式不满足时,数据点不是在对数曲线上,说明数据给的不合理。本文算法中放宽要求,将(2)中的“>”变换为“≥”。

其次,检查末端的几个数据点。工作段应取在对数曲线的较平坦部分,因此曲线末端的斜率不应太小。

过三点(xi,yi),xi+1,yi+1),(xi+2,yi+2)的二次曲线

y(x)=a(x-xi)2+b(x-xi)+c(3)

式中

二次曲线(3)的导数为y′(x)=2a(x-xi)+b,所以

(4)

由(4)式,过末端三个数据点P2m-4,P2m-2,P2m的二次曲线在P2m的切线的斜率为

km=2a1(x2m-x2m-4)+b1

式中a1=[(f2m-2-f2m-4)(x2m-x2m-4)-(f2m-f2m-4)(x2m-2-x2m-4)]/d

b1=[(f2m-f2m-4)(x2m-2-x2m-4)>2-(f2m-2-f2m-4)(x2m-x2m-4)>2]/d

d=(x2m-2-x2m-4)(x2m-x2m-4)(x2m-2-x2m)(5)

实践上,如图2,限制角,即要求

(6)


图2末端曲线

如果(6)式不满足,说明末端数据不合理。

同理,由(4)式,过初始三个数据点 P0,P2,P4的二次曲线在P0的切线的斜率为

(7)

当k0<0时,初始数据是合理的。否则说明初始数据给错了。

数据R是否合理,在构造过渡曲线时检查。

2阀芯曲线拟合

2.1工作段曲线预处理

工作段曲线在相邻数据点之间用二次Bezier曲线连接。为此在P2i和P2i+2之间(=1,2,…,m-2)取一点P2i+1=(x2i+1,f2i+1),它是过P2i平行于的直线和过P2i+2平行于的直线的交点,如图3。


图3工作曲线拟合

即有

(8)

式中,i=0,1,…,m;

在P0与P2 之间取点P1,它是过P2平行于 P0P4的直线与过P0斜率为k0(见 (7)式)的直线的交点,即有

(9)

式中,

在P2m-2与 P2m之间取的点P2m-1,在下面确定P2m+1后,由P2m-4,P2m-2,P2m及P2m+1按公式(8)确定。

2.2过渡段曲线和圆弧

在 P2m与之间插入的P2m+1,根据过渡段的不同情况分别确定。

(1) 当时(实践上取ε=0.2),如图4。取P为

(10)


图4过渡段1

数据R必须满足

f2m≥R/2(11)

否则,R给的太大,不合理。

为此在与P2m之间取一点P2m+1=(x2m+1,f2m+1),它是过P2m平行于的直线和圆弧上过的切线的交点,其中x2m+1,f2m+1的确定方法同(8)。这样,在段上也和其他工作段一样使用二次Bezier曲线。


图5过渡段2

这时顶端圆弧的圆心在X轴上,坐标为

(2) 当时,如图5。在圆弧上取点P ,使该点的切向量平行于连接P2m和S的直线,即有

(12)

已定,P2m+1的取法同(1)。P2m至P为过渡段曲线仍用二次Bezier,可依据2.2方式生成曲线。

2.3工作段曲线生成

在P2i和P2i+2之间已确定 P2i+1,i=0,1,…,m-1。过P2i,P2i+1,p2i+2作二次Bezier曲线

(13)

式中,t∈[0,1],i=0,1,… ,m-1。

3结论

在实际工程设计中,该算法计算机拟合设计出的指定理想流量特性的阀芯回转曲面,与在需用大量离散的纬线圆直径数据,然后用曲线板手工拟合出回转曲面转向轮廓线的投影响曲线的设计工艺相比较,具有很高的精度和效率,设计数据可用于阀芯CAD和CAM。

作者简介:孙晓鹏(1969-),男,安微宿州人,鞍山钢铁学院讲师。
作者单位:孙晓鹏鞍山钢铁学院 计算机系,辽宁 鞍山114002;
于春生鞍山钢铁学院 教务处,辽宁 鞍山114002

参考文献

[1]余善富.气动执行器[M].北京:机械工业出版社,1978.108~134.
[2]黄明游,梁振珊.计算方法[M]. 长春:吉林大学出版社,1994.123~132.
[3]唐荣锡 等.计算机图形学[M ].北京:科学出版社,1991.265~281.
文章内容仅供参考 (投稿) (12/1/2004)
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