摘要：本文叙述一种多学科、集成的隐式-显式-隐式分析过程，采用MD Nastran 程序对航空发动机的风扇叶片飞脱事件进行更精确和有效的仿真。风扇叶片飞脱(FBO)是高度非线性的，这是因为在新一代的高涵道比发动机中采用了大型宽弦风扇叶片，这些新的宽弦叶片用来满足制造商对具有改进性能和最优重量的高推力发动机的要求。波音公司和发动机制造商们采用仿真分析来支持对推进系统和相邻机翼结构的设计。已有许多论文来验证单点求解方法对风扇预应力、风扇飞脱分析和单独的转子动力特性仿真的应用。然而，本文的目的是验证MD Nastran 的自动化、多学科仿真能力，使通常由三个独立步骤组成的FBO 事件的仿真过程更加合理和高效。第一步隐式非线性分析风扇叶片在重力和推力载荷下预应力，采用细网格有限元模型，其结果被用作第二步显式非线性风扇叶片飞脱瞬态动力学的初始条件，第三步隐式非线性分析发动机转速下降过程和有关的瞬变状态，采用粗网格模型分析转子动力特性和载荷。这三个步骤在一个公共的建模环境中，可以由两个不同的公司完成。例如，前两个步骤可能由发动机制造商完成，而第三个步骤可以由飞机主机制造商进行。 本文中所用的例题是安装于机翼上的一台发动机的有代表性的有限元模型。
记法
t = 时间
Iyy = 绕y-y 轴的惯性矩
Izz = 绕z-z 轴的惯性矩
Ip = 极质量惯性矩
Ω = 角速度
r = 离旋转中心的径向距离
Mu = 不平衡质量
[K] = 刚度矩阵
[M] = 质量矩阵
{P} = 施加的力矢量
{U} = 位移矢量
{U&} = 速度矢量
{Ü} = 加速度矢量
ρ = 密度
σy = 屈服应力
I. 引言
在过去 10 年里，波音商用飞机公司和MSC 软件公司同世界范围的喷气发动机制造商和NASA 一起工作研发出一种统一的发动机风扇叶片飞脱分析仿真过程。商用喷气发动机上风扇叶片飞脱的发生是很少有的事件1， 但是从飞行安全性考虑，它必须在发动机的设计阶段加以关注。发动机结构必须能承受在这类极限加载期间产生的大的动力载荷。作为发动机的一个取证过程，FAA 要求发动机制造商通过实际试验必须成功地验证，发动机可承受风扇叶片飞脱事件而仍位于安装架上，在没有任何非包含的风扇碎片和失火的情况下仍能至少运转15 秒钟2。在一台大尺寸的商用发动机中，整个瞬态动力学事件可能持续20 毫秒到600 毫秒之间。在风扇叶片飞脱(FBO)之后发动机上产生的动力载荷可分成两类：
1) 在发动机内部产生的幅度很大的碰撞型的瞬变载荷，由于飞脱的叶片尖部击中包容部件和其根部同后面的叶片接触而产生。
2) 由于失去叶片造成的不平衡引起的施加在风扇转子上的旋转载荷矢量。
直到最近，在航空工业中，普通的做法一直是分别分析风扇叶片飞脱事件的这两个阶段。碰撞阶段由采用风扇和外部机匣一个扇区的很精细的有限元模型的显式方法来分析。涉及转子动力响应的碰撞后阶段则用也可包括吊架和部分飞机机翼结构的发动机结构的较粗的网格采用隐式方法来分析。Shmotin 及其合作者3 采用这种方法以LS-DYNA 作为求解程序来研究结构的包容行为。在时域内分析FBO 不平衡产生的转子动力效应的第一个尝试由Stallone 及其同事4 早在1983 年进行。失去叶片引起的不对称转子 (Izz≠Iyy)对 风扇叶片飞脱响应的影响由Lawrence 及其合作者研究5。Cosme 等人6 利用一种称为Plexus 的求解程序来分析发动机叶片飞脱事件后转子不平衡的影响。最近，Sinha 和Dorbala7 已报告作为采用整个发动机的LSDYNA模型的一个统一的过程对整个叶片飞脱事件作了仿真。
图1. 发动机模型
应当指出的是，每种方法，不论显式方法还是隐式方法，都有其缺点和局限性，这使任一种方法很难用于整个范围的分析。大多数商用程序如ANSYS 和NASTRAN 中所用的隐式方法的主要缺点是，假定转子绕发动机轴是轴对称的(Izz=Iyy=Ip/2)，而一旦风扇叶片飞脱，它就成为非轴对称的。而且，风扇转子速度随时间的变化历程(相对t)必须根据以前的一些经验是已知的（通过台架试验或者根据其他一些相似的发动机），以便计算由于不平衡产生的载荷矢量的幅值 (MurΩ2) 作为运动方程右侧的输入参数。在这一方法中，风扇叶片被认为是刚性的径向辐条。整个叶片的柔性假定是集中于叶尖，而且叶片与机匣的相互作用由接触单元来模拟。为了产生由于叶尖对机匣的摩擦而产生的正确的动态载荷，风扇叶片柔性的一种精确的表示很重要的8,9。Choy 及其合作者10 是试图测量摩擦载荷并分析它们的第一批人。摩擦是一种高度非线性的力学行为，它对转子动力响应的影响最近已由Qin 及其同事们所考虑11。在一台已损坏的发动机中，风扇转子的叶片飞脱后的风车旋转期间，叶尖摩擦刚度也是一个很重要的参数。在风车旋转事件期间，一个损坏的风扇-LPT(低压涡轮)转子可能由于变化的间隙、轴向力和动力系统中的扭矩而经历高幅值的次谐波响应12。这种采用简化转子模型的隐式分析也忽略了叶片晃动、弯曲和预扭转的影响，风扇叶片的刚性表示是假定它要与风扇盘的顶部刚性相连。实际上，取决于保持系统，叶片的根部相对于轮盘有相当大的柔性。Sinha13 已说明需要叶型的正确几何形状，包括叶型中的弯度和预扭转，来正确计算叶尖-摩擦载荷。
在另一方面，尽管显式方法在表示转子各种部件几何细节，以及在获取风扇叶片飞脱后撞击风扇机匣动力特性方面更为精确，但显式方法存在三个重大缺点：
1) 对整个静子-转子系统建模太麻烦，尤其是在商用显式求解程序中。
2) 由于时间步长很小，故需要很长的时间来运行，因此不能在任何已有的计算机系统中来运行此模型。在风扇叶片飞脱事件的整段时间上运行显式分析是不切实际的。
3) 它产生很大数量的输出数据，计算仿真的结果很多，不能获取可在设计决策中使用的简单形式的结果。
本文提出在集成过程中组合了显式和隐式方法的一种混合方法。采用这两种方法的强项和优点，我们已发展了本文中叙述的求解方法，我们把它称为对于风扇叶片飞脱和转子动力分析的集成方法(MD NASTRAN 中的SOL 700 和SOL 400)。在以下各节中详细讨论的这种集成求解方法中，碰撞载荷采用SOL 700 显式求解程序(基于LS-DYNA 和Dytran 求解程序)在内部进行计算，其输出被作为载荷和初始条件被直接送到隐式的SOL 400。
图2. 典型的载荷情形.
在目前的过程中，Nastran SOL129 隐式非线性瞬态响应求解序列被用来仿真FBO 事件和发展设计阶段中的内部载荷。为非线性分析所加的这些载荷如图2 所示，该图给出了由发动机制造商提供的输入的类型，这是由它们的LS-Dyna 显式分析得到的。不平衡载荷(MurΩ2) 施加在风扇（FAN）位置，由发动机减速引起的抓住力矩按作用于发动机静子叶片或机匣的切向力施加，而推力载荷在发动机机匣的前后方向施加。由于偏置质量的角速度减速所引起的切向力没有包括在这一分析中。用于瞬态响应分析的运动方程为：
在这些典型的发动机风扇叶片飞脱分析中，{N(t)}用于模拟非线性相互作用力和陀螺力。这些力是以前的时间步所得到的位移和速度的函数。[￣B]，系统阻尼矩阵，还可能包括由于其他同轴转子产生的陀螺力项。明确随时间而变化的一些特性，诸如失效和破损分析，可用传递函数、直接矩阵方法或非线性单元的组合来建模。
破裂或熔断机制是一种局部的非线性行为，该行为发生时要减除发动机风扇叶片飞脱事件时的结构载荷6。由于典型发动机模型的大小以及典型风扇叶片飞脱分析中所需的时间步的数量，模型中通常不包括非线性材料和单元。作为替代措施，非线性效应由以下两个方法中的一个或两个来仿真：
1) 在运动方程的力矢量这一侧包括非线性成分，如圆形间隙(即NLRGAP)所产生的非线性。这种方法仍需要为收敛而迭代，但对大模型常常是唯一有效的选择，而且是MSC NASTRAN 的一种标准能力。
2) 通过在分析中的给定时间改变结构矩阵以便在瞬态响应分析中包括非线性效应。如果事件的近似发生时刻已知，而且仅需要事件的一个总体的表示，这种方法是一种有效的分析方法，因为它不需额外的迭代。此功能一般用于模拟在风扇叶片飞脱事件中可能会发生破损。在第一种子工况中，没有损坏的结构刚度已被增加到分析中，并在其后的子工况开始时用系数为零的DMIG 矩阵或传递函数来代替。
现有隐式过程的精度已因风扇叶片飞脱取证试验和部件台架试验所取得的经验而越来越高。然而，每一次安装都是不同的，而且推进系统的大多数设计是在有关的发动机取证试验可用来证实输入和分析参数之前完成的。
II. 设计和研发下一代解决方案
MD Nastran (MD 为“多学科”之意)是制造商们的下一代设计和分析工具，制造商们需要用它来在一些复杂的模型如喷气发动机和飞机结构上进行相互作用的、多学科分析。MD Nastran 是跨多个集成的学科优化的，有能力来处置大规模的FBO 和FOD(外来物损伤)设计问题，并能充分利用高性能计算机环境。MD Nastran 中的这种集成的显式-隐式方法分别由SOL 700 和SOL 400 来体现，并将依靠以下措施使分析过程推进到FBO 事件的更高一级的真实仿真：
1) 包括在最大转速和静态载荷如重力下由隐式求解得到的预应力风扇叶片初始条件。
2) 随后是风扇叶片飞脱情况下转动数周的显式解，以便对以下情形进行仿真：对其后面风扇叶片的损坏；风扇与发动机机匣的摩擦；对进气道或发动机包容机匣的破损或损坏；风扇轴和/或其他转轴的扭转和弯曲。
3) 然后转换到隐式求解序列继续进行分析，以便更迅速地达到稳态风车转速。这通过包括真实的输入强迫函数和在显式求解过程得到的损坏来实现。引入一些简化载荷以应用于较粗模型的方法，以保存解的完整性。
4) 这种集成的SOL 700 显式求解序列和具有Nastran 转子动力学功能的MD Nastran SOL 400 隐式求解序列被用来预测发动机的不平衡，并提取涡动图和临界容差(图3)。这就可使发动机制造商与现代主机/推进系统部件的其他制造商无缝地共享显式阶段的结果，而不泄漏设计秘密，从而实现高精度及在较少的瓶颈下提高生产率。
图3. 转子动力特性:风扇叶片的涡动图
此新的MD Nastran 集成方法提供一个一致、公共的建模环境，在设计阶段用更可靠和精确的预测使FBO 和转子动力仿真接近真实环境，满足具有挑战性的成本指标，并符合严格的规范和取证要求。
III. 仿真
A. 显式 FBO 模型
波音公司为这项研究提供了一个简化的通用发动机模型。此发动机模型由MSC 公司修改和增强，以包括现实的风扇叶片、转子、三个轴承和其他部件(见图4)。一般来说，全FBO 模型可能容易地具有数百万个元素和自由度来代表一台现实的喷气发动机。然而，对于本研究的目的来说，即使FBO 模型以比转子动力学模型更细的网格密度来构建，它也没有制造商们在其显式仿真中所用的全发动机模型那样精细。该FBO 模型具有8864 节点和8256 个壳单元，并被认为详细到足以抓住问题的物理特性及计算碰撞和摩擦载荷。风扇叶片由沿它们宽度和长度方向厚度变化的壳单元构成。转子用沿其长度具有变截面且转速为4500 转/分的一个空心梁杆结构构成。转子和风扇叶片的材料都是具有下列性质的钛合金：
材料: (钛)
叶片和转子 (国际单位制单位)
ρ = 4.466 g/cm3
泊桑比 = 0.35
σy= 1009 MPa
切向模量 = 731 MPa
杨氏模量 = 117 GPa
失效塑性应变极限 0.2
图4. 发动机模型和转子上轴承的位置
轴承通过构建两个具有预定刚度性质可互相接触的环来建模。轴承上的凸缘防止转子在风扇叶片飞脱期间的轴向运动。轴承模型和它们的性质是在FBO 和转子动力特性分析期间对“熔断”进行仿真的重要设计因素。熔断是指轴承或其他支撑结构因超过熔断结构的设计强度而发生失效，其刚度降为零。熔断将在E节中做更详细的讨论。
B. 预应力仿真
预应力仿真通过计算由于转子的初始转速所引起的风扇叶片的应力和变形来完成。这些结果将被当作显式的风扇叶片飞脱分析的预条件。这种预应力仿真通过在SOL 700 执行控制段采用“PRESTRS”标记开始，此执行控制段激活其隐式的求解程序，并产生一个称为“NASINIT”的文件来包括预应力分析的结果。此隐式求解程序适合用于预应力分析，因为风扇叶片的应力在弹性范围之内，而且此隐式求解程序与显式求解程序相比需要仿真时间要少得多，因为显式求解程序采用很小的时间步长。
预应力模型仅限于旋转件，即风扇叶片、涡轮和转子，以减少仿真时间。在预应力分析中不考虑CFD(计算流体力学)或热力载荷，这是因为它们同离心力比较数量很小的缘故。
图5. 风扇叶片和转子的位移云图 – SOL 400 同 SOL 700 比较
在SOL 700 隐式求解程序中缺省的壳列式是单元类型16 – LS-DYNA 中的全积分壳单元。为检验SOL 700 隐式分析结果的正确性， 还在MD Nastran 的非线性求解程序SOL 400 中采用了Nastran 缺省的壳列式。SOL400 和SOL 700 间的应力和变形结果相差2%，这是相当令人满意的。然而对这一特定的分析，它要花几分钟来完成，SOL 400 运行同样的模型要比SOL 700 隐式求解程序快三倍。速度差别的原因是由于SOL 700 隐式求解程序是基于双精度版本的。图5 显示风扇叶片上的位移云图，而图6 则显示应力结果。分析结果在表1摘要地列出。
图6. 风扇叶片和转子的应力云图 – SOL 400 同SOL 700 比较
表1. 400 与SOL 700 预应力仿真结果的比较
 C. 风扇叶片飞脱(FBO)仿真
FBO 分析的目的是确保发动机的安全性， 并满足FAA 和JAA (欧洲 – 联合航空管理局)的规范。这一仿真计算动力载荷，并预测风扇叶片、风扇机匣、包容部件、转子和其他部件的损坏。通常此分析的进行是为了获得发动机达到转动3 周的行为。即使更长的仿真由于要储存大量数据以及过长的运行时间是禁止的，但是可能需要运行FBO 长到10 转的时间，以便将显式的结果同转子动力学分析的那些结果部分地进行关联分析。由MD Nastran SOL 700 计算和储存三种主要的动力载荷，它们是：
1) 碰撞载荷
2) 风扇机匣上的摩擦载荷
3) 叶尖上的摩擦载荷
碰撞载荷是由于飞脱的叶片“碰撞”包容结构或其他部件而产生的。这些力包含法向分量(对风扇机匣垂直)和切向分量，它们随时间以及叶尖打击包容环的各个部分而变化。飞脱的叶片在分析和试验中是预定的，而且仅是该叶片在轮毂处实际飞脱并与风扇机匣碰撞。在许多场合，后面的叶片将同飞脱叶片的根部相撞，并引起后面的叶片在不同的部位损伤和破损。结果，一个或多个后面的叶片将像炮弹碎片那样飞出，并使碰撞载荷显著增加。本文只限于分析一个飞脱的叶片，并假定没有损伤后面的叶片。这些力和它们的接触位置按Nastran 的基本坐标系被储存SOL 700 的“ binout ” 以及MD Nastran 数据库的“MASTER”文件中。MD Nastran 中新的“BLDOUT”入口为组合SOL 700 – SOL 400 叶片飞脱分析(在SOL 700及其以后的SOL 400 分析中使用)确定叶片飞脱力输出信息和映射准则。
摩擦载荷产生的原因是风扇叶片尖部与包容环和/或其填沟材料的内表面接触。在风扇叶片飞脱事件中，因为作用在转子上的不平衡力(MurΩ2)使它偏离中心，而且旋转叶片与静子结构间的叶尖运转间隙消耗殆尽，叶尖将对周围产生摩擦。摩擦载荷在施加在风扇机匣上的载荷同施加在叶尖上的载荷是有区别的。它们是作用于包容环和叶尖上的一组大小相等、方向相反的力。其主要差别在于包容环上的摩擦载荷可以是静止的，而叶尖上的摩擦载荷随叶片旋转而变化，而且在任何给定的瞬间，转子上的不同叶片相继与静子结构在同一位置接触。摩擦载荷(Frub)具有径向和切向分量，径向分量(Fr)沿叶片的展向作用，而切向分量(Ft)则与转子运动相反的方向作用。采用叶尖库仑阻尼与摩擦系数μ 的关系，切向分量的大小按Ft = μFr 计算。由于由摩擦力(Ft)产生的作用在转子上的力矩始终与运动方向相反，其趋势将是不变地减慢转子轴的旋转转速。这些载荷，如果相当严重时，不仅可减慢转子，甚至可使它停转，这种现象称为“抓住力矩”。这样，摩擦力在接触点分别具有法向和切向分量，即(Fr)和(Ft)。与碰撞力相似，MD R3 SOL 700 将计算摩擦载荷的接触位置和大小，并将它们储存在“binout”以及“MASTER”文件中。对于大小为零的载荷将被过滤掉，不写在数据库中，以节省时间和磁盘空间。
由失去的叶片材料的质量(Mu) 所产生的不平衡力(MurΩ2)，不论剩下的非破损叶片是否同包容环接触都要产生。此力由SOL 700 在Nastran 基本坐标系中输出，并保存于SOL 700 的“binout”文件中。此外，破损叶片的质量将被保存，以便以后为创建供SOL 400 转子动力特性分析的UNBALNC 入口使用。
FBO 分析的结果和典型载荷如图7 到12 所示。仿真时间为30 毫秒，约为叶片旋转3 转的时间。如本研究所要求的那样，只有一个叶片飞脱，而且后面的叶片没有破损。此仿真表明，即使后面的叶片同飞脱的叶片有碰撞(见图7 到9)，实际上其他叶片也不会破损。在风扇机匣上t = 3 ms 时的塑性应变和应力也由图10 和11 可见。
图7a. 在1.49 ms 时飞脱一个叶片的风扇叶片飞脱分析
图7b. 在t = 3.69 ms 时飞脱一个叶片的风扇叶片飞脱分析
图8. 在t = 3.69 ms 时破损叶片的轴测图
图9. 破损叶片和风扇机匣
图10 t=3ms 时风扇机匣的塑性应变
图11 t=3ms 时风扇机匣的等效应力
图12a 到12c 给出了作用在风扇机匣上的碰撞载荷和摩擦载荷分量，而图12d 和12e 则示出了在典型位置处作用在叶尖上的摩擦载荷分量。值得指出的是，作用在机匣和叶尖的总的合成切向摩擦载荷应相等，但方向相反。然而，如图12f 所示，这些载荷从不同的部位提取，仅意味着是一些有代表性的载荷。所有载荷分量和它们的位置(用x, y, z 坐标)被记录在数据库中供以后的搜索和映射到新的较粗网格转子动力学分析模型时使用。图13 示出了由于质量不平衡产生的尖端节点轨道图，并预测每一方向的最大“涡动”变形。
图12a 机匣的撞击力 图12b 机匣的摩擦力（径向）
图12c 机匣的摩擦力（切向） 图12d 叶片尖部的摩擦力（径向）
图 13 转子叶尖的轨迹– SOL700
D． 利用SOL400 进行转子动力学模拟
由SOL700 显式求解器所得的叶片脱落力及其位置作为SOL400 求解转子动力学过程的输入条件。此外，同时由SOL700 求解得到的质量惯性和偏移量保存在后缀名为ssst 的文件里，并且作为UNBALNC 的输入量。对叶片脱落力的求解有着更小的时间步和很密的网格模型。
如前所述，在当前的工程实践中，发动机显式分析模型包含了很多细节方面的东西，并且在发动机、飞机主机和发动机吊舱等制造商中通常很难共享。在我们的新方法中，只需互相交换关于力的基本数据库就可以了。飞机主机制造商们将粗网格和进行转子动力学模拟所需要的所有陀螺力都集成到一个隐式分析模型中。在转子动力学模拟中同时包含了转动和固定的结构。当前，用Nastran 进行转子动力学分析需要将整个结构的转动部件模拟为一个“中心线”模型（又称梁模型）中。这个梁模型可以由Guyan 缩聚法获得，也可以由经典的集中质量方法得到。在我们的分析中，stick 模型的组成部分可以由显式模型中的空心轴转子计算所得。新的熔断CBUSH 元被设置在轴承的位置，以模拟转子弯曲带来的熔断过程。去掉风扇的叶片，而代之以MPC 多点约束方程组来描述刚性轮辐。这些刚体轮辐由SOL400 基于后缀名为MASTER 的数据库自动生成。转子叶尖受到的摩擦力同样也被计入对转子扭矩的计算中。固定结构可以作为一个完整的FEA 模型，可以由Nastran 中所提供的任何一种缩减方法或二种缩减方法联合进行缩减。
为了将叶片脱落力映射到粗网格上，SOL400 中包含了高级搜索和映射的功能。搜索过程覆盖了所有载荷位置，确定离载荷位置最近的单元。然后创建刚性RBE3 将载荷“映射”到刚搜索到的最近单元的角节点上去。
在映射过程中，进行基于快速傅立叶变换（FFT）的时间步同步化处理，以避免显式步和隐式步的混淆。叶片脱落的载荷产生的时间间隔相比于隐式求解器的时间间隔小很多。
对转子动力学过程进行模拟只要两秒钟时间。图15 绘出了转子尖端的轨迹，以方便对叶片脱落的过程进行比较分析。通过对SOL400 和SOL700（见图13）所得的轨迹图的比较可以得知，转子叶尖的涡动特性很近似，z 方向的变形大小很接近，而y 方向的变形大小差别较大。这种差别可以归结为两个原因。一个原因是，在进行转子动力学模拟时没有考虑已脱落的叶片和未脱落的叶片之间的接触力，而仅考虑了叶片的撞击力和摩擦力。这些叶片的接触力对于叶片脱落出来的在y 方向的轨迹有一定的影响。第二个原因是，在进行转子动力学模拟过程中将转子中央带有轮毂的部分模
化为梁结构了。
图14 叶片脱落与转子动力学模拟
图 15 转子叶尖的轨迹– SOL400
本次分析的目的是为了证明MD Nastran 将显式分析和隐式分析融为一体的功能。而这些分析和模型是由工程中的许多方法简化而来。模型忽略了许多因素，更简单化， 没有超单元而只有一个转子。此外，在隐式分析中考虑了结构阻尼（G=0.1）,而在显式分析中没有考虑任何阻尼。一方面，因为模拟的时间很短，阻尼在外部分析中不是很重要。另一方面，在隐式分析中阻尼极其重要，而且是最难确定的因素之一。在隐式瞬态响应分析中考虑阻尼的另一困难是， 哪些简便方法（例如PARAM, G）的作用取决于响应的频率。因此，MSC 在MD Nastran 中包含了例如Hybrid 阻尼的其它方法。这就允许用户在用SOL400 直接分析中选定模态阻尼因子的值。此模态阻尼因子被转换为粘性阻尼因子矩阵， 而此矩阵的主要缺陷就是太满。满的阻尼矩阵和较长的模拟时间（长达3 秒）决定了，要进行最大程度的动力学缩减以保证能对一架大飞机进行各种条件下的完整的验证分析。 此次分析中没有涉及。
此外，除了非平衡力，在例子中考虑摩擦力和撞击力外还有一些载荷是很重要的。例子中包含了重力、推力和任何转速降低中包含的附加扭矩（隐式分析中没有）。
包含了显式和隐式的叶片飞脱分析中，也包括了很多边界非线性和增加的转子摩擦位置。所有这些特征在MD Nastran 中很容易得到，但是超出了本工作的范畴。
E． MD Nastran 中改进的轴承熔断模型
图 16 转子的轴承位置
如图16 所示，本文所选取的研究转子由三个轴承支撑。在对叶片飞脱的显式分析中，轴承采用体单元模拟， 且分为具有变形体－变形体接触关系的内环和外环（如图17 所示）。假设为弹性材料。而选取的杨氏模量要使得轴承的三维结构的刚度与真实轴承相等效。确定杨氏模量的方法有多种，会涉及试错法。方法之一就是利用刚性单元把轴承内环内部的所有节点连接到其中心节点上，再固定外环， 然后给那个中心节点施加一些载荷并测量中心节点的位移。这个轴承的等效刚度可以由载荷和中心节点位移之间关系来得到。
图 17 叶片脱落分析的轴承模型
在转子动力学隐式分析中，轴承可以很方便地由Nastran的CBUSH 元来模拟。这样，轴承的刚度系数可以直接指定。CBUSH 元是普通的弹簧－阻尼单元，这种单元能代替轴衬连接。CBUSH 单元支持材料非线性特征：力－位移曲线表征了刚度的非线性；力－速度曲线表征了阻尼的非线性。一个新的功能是允许采用多种准则来模拟CBUSH 单元的熔断。用户指定的失效准则包括拉、压的极限载荷和最大相对位移。此单元材料的非线性行为已被修正，允许力－位移曲线的半径相关性和球形相关性。半径相关性对于径向轴承是很有用的。此外，此单元现在支持几何非线性和大转动。
在转子动力学隐式分析中，轴承1（见图4）的失效载荷设为734kN（1.6E5 lbf）。对于熔断选择半径相关性。图18 显示了这个轴承的力随时间的变化过程。这个轴承在叶片脱落后不到一转的时间内就熔断了。此轴承熔断的时间用于修正叶片飞脱的显式分析。在叶片飞脱的分析中，在转子动力学隐式分析得到熔断时刻，通过不激活轴承内外环的接触关系来模拟轴承熔断。
图18 轴承力随时间的变化
四 结束语
本文展示了发动机、发动机吊舱和飞机主机的制造商们可以利用MD Nastran 数据库将SOL700 显式求解器得到的叶片飞脱力映射到SOL400 的粗网格上进行转子动力学分析。利用本程序对在发生叶片飞脱事件后的转子的瞬态动力学响应可以更精确，因为可以考虑由于叶片脱落引起的在转子上部悬挂位置的质量的不对称性（Izz≠Iyy）。在隐式求解的瞬态响应分析过程中，对于每一个时间步Δt，我们可以旋转涉及的转子单元的非对称的质量[M]、阻尼[￣B]和刚度矩阵[K]。转子单元相对于发动机轴的旋转的效果可以由一个转换矩阵[T]来实现。例如，当转子相对x 坐标轴的瞬时转动速度为Ω,转换矩阵可以写成：
值得注意的是，涉及到的静子单元的各个矩阵在空间是固定的，不需旋转。在一个三维转子模型中，我们会得到一个3x3 的旋转矩阵。关于旋转矩阵[T]的下列三个关系式可以用来转换运动方程中的质量矩阵[M]、阻尼矩阵[￣B]和刚度矩阵[K]。
转子的旋转后的新矩阵可以与发动机各个静子单元的各矩阵联合，这样，我们可以捕获叶片飞脱后不对称的非平衡风扇转子的整个物理过程。可以认为这种新方法能够使航空航天制造商们的叶片飞脱-转子动力学模拟标准化，得到更精确的载荷条件、增加安全标准和缩短设计周期。
参考文献
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7 Sinha, S.K. and S. Dorbala, “ Dynamic Loads in the Fan Containment Structure of a Turbofan Engine”, ASCE 11th Earth and Space Conference, Long Beach, CA, March 3-5, 2008.
8 Sinha, S.K., “Dynamic Characteristics of a flexible bladed-rotor with Coulomb damping due to tip-rub”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 273, 2004, pp. 875-919.
9 Lesaffre, N., J.-J. Sinou and F.Thouverez, “Contact Analysis of a flexible bladed –rotor”, European Journal of Mechanics, A/Solid, Vol. 26, 2007, pp. 541 – 557.
10 Choy, F.K., J. Padovan and W.H.. Li, “Rub in high performance Turbomachinery Modeling, Solution Methodology and Signature Analysis”, Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 2, No. 2, 1988, pp. 113-133.
11 Qin, W., G. Chen and G. Meng, “Nonlinear responses of a rub-impact overhung rotor”, Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 19, No. 5, Mar. 2004, pp. 1161-1172.
12 von Groll, G. and D.J.Ewins, “On the dynamics of windmilling in aero-engines”, IMechE Conference Transactions, Vol. 6, 2000, pp. 721-730.
13 Sinha, S.K., “Combined Torsional-Bending-Axial Dynamics of Twisted Timoshenko Beam with Contactimpact loads at the free-end”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 74, May. 2007, pp. 506 –523.(end)
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