摘 要：建立了平装可转位球头立铣刀端刃几何造形的数学模型，利用该模型可计算出刀体上刀片槽的加工调整参数、刀片圆弧半径以及铣刀几何角度沿切削刃的分布。
关键词：可转位球头立铣刀 端刃 几何建模
可转位球头立铣刀是近几年才出现的一种加工空间自由曲面的先进刀具，它除具有可转位刀具的所有优点外，与整体式球头立铣刀相比，由于各搭接刀片将圆弧刃分段进行切削，大大改善了圆弧刃非自由切削的不良状态，减小了非自由系数，从而使切削力得以减小［4］。
世界上各工业发达国家的有关厂家先后研制出各种品种与规格的可转位球头立铣刀，较著名的有瑞典的Sandvik公司、德国的Walter公司、Ingersoll公司以及日本的三菱株式会社等。国内有个别厂家使用国外技术生产可转位球头立铣刀，也有极少数厂家进行过试制，但由于缺少相关理论与技术，均未开发出具有国际竞争力的产品。为了弥补这种不足，作者对可转位球头立铣刀进行了深入系统的研究，以期提高国内生产可转位球头立铣刀的理论技术水平。
纵览国内外相关资料，尚无可转位球头立铣刀的理论计算与造形的有关报道。借助于几何造形的基础理论，并结合整体式球头立铣刀端刃的某些优点，本文建立了可转位球头立铣刀端刃几何造形的数学模型，使用该模型，可计算出刀体上端刃刀片槽的加工调整参数、刀片圆弧半径以及切削角度沿铣刀端刃的分布情况。
一、数学模型
有良好切削性能的整体式球头立铣刀具有S型端刃(如图1)，若使可转位球头立铣刀的端刃也具有类似于整体式球头立铣刀的S形端刃，可将刀片的切削刃沿整体式球头立铣刀的S形刃安装搭接，此时，刀片上某点的切线应与整体式球头立铣刀S形端刃的对应点的切线重合，再使刀片沿该切线旋转适当的角度，以形成所需的前角与后角。
图1 坐标系
由于S形刃的对称性，现以S形刃的前半部分进行研究。如图1建立铣刀坐标系oo-xyz与刀片坐标系oo-xoyozo，铣刀系中，OZ轴与铣刀轴线重合，球面半径为R，又设刀片前刀面为平面并位于刀片系的yozo平面内，刀片后刀面为锥面，设半锥角为β，锥面的轴线垂直于刀片前刀面，前刀面与后刀面的交线为圆弧形切削刃，设半径为r，将切削刃的中点置于O0点。
1.整体式球头立铣刀S形端刃切幺矢
据国外资料介绍，整体式球头立铣刀较理想的S形端刃应是正交螺旋面所形成的前刀面与球面的交线。在铣刀坐标系o-xyz中，正交螺旋面的方程可写成
式中 rx，θ——参变量
pz——螺旋面导程
由于端刃既在正交螺旋面上，又在球面上，因此它必然满足
z2＋y2＋z2＝R2 式中 R——球面半径
将式(1)代入式(2)，并整理化简后有
rx＝R 2 式中 M＝
ω1——半径为R圆柱面上的螺旋角
将式(3)代入式(1)，便得到以参数θ表示的端刃曲线方程 
由微分几何学知，端刃曲线上任意一点的切线矢量T为
其切幺矢 T0＝T/|T|
将式(5)与式(7)代入式(6)有
2.刀片安装参数计算
如图2所示，在S形刃上任选一点m，将刀片连同其坐标系移动，使O0点与m点重合，并且使x0轴平行于x轴；y0轴平行于y轴；z0轴平行于z轴。在刀片坐标系中，刀片O0点的切幺矢即为z0轴上幺矢的反方向。首先使刀片连同其坐标系绕x0轴反转ω角，使刀片系成为o0-x0y1z1，然后再使刀片系绕y1轴反ω角成为o0-x1y1z2，假设此时刀片系上的z2轴正好与铣刀S形刀m点处的切线矢量重合，S形刃上的切幺矢必与z2轴上的幺矢相等，将z2轴上的幺矢写在铣刀坐标系中有
r＝Ax0（－ω）Ay1（－）r1（9）
式中Ax0（－ω），Ay1（－)为坐标变换矩阵，可写成
Ax1，y1 而 r＝［0 0 1］T
图2 刀片安装旋转变换
将上两式代入式(9)，便得到z2轴上的幺矢在铣刀坐标系o-xyz中的表达式
由于z2轴已与铣刀S形刃的切线重合，z2轴上的幺矢必与S形刃上m点的切幺矢相等，在同一坐标系内的各分量亦应相等，对照式(8)与式(10)可得到
最后再使刀片随同其坐标系绕z2轴正转ψ角到达o0－x2y2z2的位置，此时刀片便安装在刀体上。调整ψ角的大小，可使铣刀的前角与后角按需要进行调整。显然，旋转角ω、和ψ就是铣刀刀体刀片槽的加工调整参数，只是在加工刀片槽时，不是刀片转动，而是刀体沿反方向转动ω、与ψ值。
3.刀片圆弧半径的确定
理论的刀片圆弧半径r应为刀片安装在刀体上之后，刀片前刀面与球面的交线圆半径。如图3所示，在铣刀坐标系中，球面的方程可写成r＝ 式中 ψ，θ——参变量
图3 球面方程
令
铣刀系o-xyz与刀片系o0-x2y2z0间的转换关系为
r＝？＋Ax0，y1，z2（－ω，－，ψ）r2 式中，Ax0，y1，z2（－ω，－，ψ）为坐标变换矩阵，其表达式为
Ax0y1z2（－ω，－，ψ）＝ 式中 a11＝coscosψ
a12＝－cossinψ
a13＝－sin
a21＝sinωsincosψ＋cosωsinψ
a22＝－sinωsinsinψ＋cosωcosψ
a23＝sinωcos
a31＝cosωsincosψ－sinψsinω
a32＝－cosωsinsinψ－sinωcosψ
a33＝cosωcos
将式(16)代入式(15)有
r＝ 或r2＝ 将式(13)，(14)代入式(17)，便得到球面在刀片系o0-x2y2z2中的表达式为
因为理论的刀片圆弧半径应为安装后的刀片前刀面与球面的交线圆半径，令式(18)中的x2＝O有
a11cosψcosθ＋a21cosψsinθ＋a31sinψ＝ 上式可写成Dcosψ＋Esinψ＝B 式中 D＝a11cosθ＋a21sinθ
E＝a31
B＝
解方程(19)有
将式(20)代入式(18)中y2，z2的表达式中便得到以参数θ表示的刀片前刀面与球面交线圆的方程，在交线圆上任取三点便可求得刀片圆弧半径r。
4.铣刀端刃切削角度计算
如图1b所示，在刀片坐标系o0-x0y0z0中，刀片圆弧刃上任意点P的切幺矢可表示为Sp＝［0 －sinu cosu］T
前刀面上的法前角幺矢为γpn＝［0 －cosu －sinu］T
后刀面上的法后角幺矢为αpn＝［－cosβ －sinβcosu －sinβsinu］T 将 和 换到铣刀坐标系中有
Sp2＝Ax0，y1，z2（－ω，－，ψ）Sp＝ γpn2＝Ax0，y1，z2（－ω，－，ψ）γpn
＝ αpn2＝Ax0，y1，z2（－ω，－，ψ）αpn＝ 在铣刀坐标系o-xyz中，刀片切削刃上任意点P处的切削速度幺矢V0为V0＝［sinθ －cosθ 0］T 刀刃上任意点处的刃倾角λs，法前角γn与法后角αn为［2］sinλs＝Sp2V0＝－a12sinusinθ＋a13cosusinθ＋
α22sinucosθ－a23cosucosθ
sinrn＝ （rpn2U0）
＝ （－a11cosβsinθ－a12sinβcosusinθ－a13sinβsinusinθ＋a21cosβcosθ＋
a22sinβcosucosθ＋a23sinβsinucosθ） 以下求参数u与θ间的关系式。在刀片坐标系O0－x0y0z0中，刀片切削刃的圆弧方程可写为r0＝ 将上述方程转换到O0－x2y2z2坐标系中，有r2＝Ax0，y1，z2（－θ，－，ψ）r0＝ 因刀片圆即为前刀面与球面的交线圆，同一坐标系中相同点的对应坐标应相等，参照式(18)有p align=center>a13（Rcosψcosθ－xm）＋a23（Rcosψsinθ－ym）＋
a33（Rsinψ－zm）＝a32r（cosu＋1）＋a33rsinu式(24)中的参数ψ可由式(20)求得。上式即为参数u与θ的关系式，只要给出u值便可由上式求得对应的θ值，进而由式(21)、(22)和(23)计算出铣刀切削角度λs，rn和αn的值。
二、计算实例
设球头半径R＝25mm，刀片后刀面半锥角β＝15°,长22mm,宽16mm，在S形刃上选取θ＝8°的一点m。其计算结果为：xm＝22．862mm，rm＝3．213mm，zm＝9．591mm；加工调整角ω＝－15．378°；＝－23．833°；ψ＝95°；刀片圆弧半径r＝24．947mm，切削角度沿铣刀切削刃的分布情况见表1。
表1 切削角度沿切削刃的分布
三、分析与讨论
(1)通过适当选择加工调整角ψ的值，可改变法前角γn、法后角αn以及刀片圆弧半径r的理论值，这样可使在不同安装位置上刀片的圆弧半径接近相等，从而减少刀片规格；
(2)改变S形刃上基准点m的位置，可使各刀片间进行合理的搭接；
(3)改变正交螺旋面的螺旋角ω1的值，可改变铣刀的刃倾角λs；
(4)从表1可知，随θ角的增大，刃倾角λs和法前角γn均增大，而法后角αn将减小，但增大和减小的量均不大；
(5)本文仅对S形端刃的前半部分进行计算，只要将铣刀绕其轴线旋转180°，后半部分S形刃的切幺矢计算与此完全相同；
(6)本模型适用于平装刀片，但只要改变刀片前、后刀面的形状，本模型亦可用于立装刀片可转位球头立铣刀加工调整参数的计算。
作者单位：四川工业学院 成都611744
参考文献
1.吴大任.微分几何讲义.北京：人民教育出版社，1979
2.姚南王 旬等.数学在刀具设计中的应用.北京：机械工业出版社，1988
3.吴能章等.球头立铣刀端刃后刀面刃磨砂轮轨迹算法.机械工艺师，1998(9)
4.王西彬等.圆弧刃切削的非自由系数及其改善.工具技术，1996(4)
(end)
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