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基于NASTRAN的贮箱结构与液体耦合模态分析方法
作者：杨琼梁 唐国安
摘要：在理想流体及小幅度晃动的假设条件下，表征液体晃动的压力函数的控制方程可以线性化，经有限元方法离散后，便能导出结构振动与液体晃动耦合问题的二阶线性微分方程组，其中系数矩阵是非对称的。采用静态缩聚技术，方程中的液体非自由面上的节点压力可被凝聚掉。进一步用模态坐标表示液体自由面的压力向量，得到了具有对称系数矩阵的耦合方程组。最终，液体是以超单元形式出现在方程中，从而可以用NASTRAN 程序求解结构与液体的耦合动力学问题。
在边界条件(2)和(3)中，n 表示液体表面的法向单位矢量(指向液体外部)， nu 为结构沿n 方向的加速度，ρ为液体密度， g 为重力加速度。
其中p 是液体有限元模型的节点压力向量， N 为插值型函数。根据插值公式(4)式可以推导出液体压力∇p梯度的表达式
于是，方程(1)和(2),(3)边界条件可以写成离散形式
其中
结构有限元模型的控制方程为
式中u 为结构的节点位移向量， S M 和S K 分别是结构的质量和刚度矩阵， S Q 为结构除液体压力之外所受的外力向量。
3 液体节点压力自由度缩聚
将分块形式的 MF 和 KF 代入方程(5)，即有
其中L=[Lf Lr]。从方程(9)的第二式可以确定 pr 与 pf 约束关系
将上式代回到从方程(9)的第一式，得到仅由自由面节点压力表示的液体控制方程
其中
再将(10)代入方程(7)，则可得到结构的控制方程
其中
将(11)和(12)写成联立形式后得到
4 液体压力主坐标表示的耦合方程
实际上广义特征值问题(14)就是当结构为刚性时液体自由晃动的特征方程，特征值ω1,...ωnf 就是刚壁容器内液体的自由晃动频率，且ω1=0。主座标ξ1表示液体自由面的均匀压力，即自由面平直升降。特征向量满足正交性条件
其中
将主坐标表示的液体自由面压力向量(15)代入到方程(11)中，利用正交性条件可以得到
式中ξE= {ξ2....ξnf}T 。
再将(18)和(19)代入到方程(12)中，又可得到
其中
用
这是一组对称形式的方程组，便于用常规多自由度动力学方法求解。若将液体看作由界面坐标u 和内部坐标 ξE 表示的超单元，其质量和刚度矩阵分别是
将此超单元综合到结构上，耦合以后方程就是(21)。于是，只要构造出矩阵μ 和κ ，就能用MSC.Nastran 程序进行后续的液固耦合动力学分析。
SOL 103
表1 圆柱贮液器液固耦合模态的计算式实测结果
(b)带端壳圆柱贮箱的液固耦合模态
根据形状，模态可以分为四种类型。第1 种如图3，结构呈刚体运动(上下平动、左右平动，以及绕z 轴转动)，液体表面几乎没有晃动，频率近似为零；第2 种如图4，结构呈刚体运动(绕x, y轴摆动)，液体随结构晃动；第3 组如图5，结构几乎不动，液体在“固壁容器”内晃动；第4 组如图6~8，结构与液体存在比较明显的耦合振动。
在第四组模态中，液体表面周向波数为0 属于液固耦合纵向模态，波数为1 属于横向模态，其余是局部模态。在液体运载火箭的动力学分析中，重点需要关注周向波数为0 和1 的模态。
文章内容仅供参考
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(5/22/2011)
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，液体质量矩阵 MF 和刚度矩阵KF 也相应地写成分块形式。从公式(6)可知，计算矩阵 MF 的面积分仅限于自由面，因此矩阵 MF 只有与自由面相关的元素非零，因此
同乘以方程(17)第二式两端，并于方程(20)联立后最终得到
