有限元模型如何查错

作者：PAUL KUROWSKI

欢迎访问e展厅 展厅 2 CAE/模拟仿真展厅 通用有限元分析软件, 结构分析软件, 动力学分析软件, 声学分析软件, 板料冲压成形模拟软件, ... 在建立有限元模型的过程中很容易出错，如果你知道如何查错，修正这些错误将会变得很简单 有限元分析的第一步就是建立被分析对象的数学模型，这要求我们思索建模的理论基础如弹性理论，板的Reissner 理论，塑性变形理论等，和考虑问题的其它信息如几何描述、材料特性，约束和荷载等等。 分析的目的就是由这些条件，计算得到精确解u_EX并同时得到位移u_EX的应力函数F(u_EX)如Von Mises 应力等。应力函数F (u_EX) 仅仅依赖于数学模型的定义，而与求解该数学问题的数值近似计算方法无关；同时应力函数F(u_EX)也不依赖于网格划分、网格类型和单元尺寸。函数F(u_EX)与模型实体物理性质之间的差异，被称为“模型错误”。 下一步就是使用有限元方法去找到精确解u_EX的近似值u_FE。这个过程包括选择网格划分和构件类型，如对二维板用八节点（矩形）单元，依此类推。网格划分＆单元定义被称为有限元的离散化。 离散化产生的误差可以被定义为： 大部分的分析应该把这个误差控制在10％以内。同时由于建立模型和模型的离散化一定会产生这个误差，正确运用有限元分析就包括对这两类误差进行评估和控制。有限元分析结果中的名义误差＆真实误差是有区别的，最好能够加以区别： 名义误差可以比建模误差和离散误差的总和小，二者可能反号而相互抵消。结果的好坏取决于模型是否反应实际（模型误差的大小）和有限元软件在转化过程中的精度控制（离散化误差的大小）。 WHAT IS MODELING ERROR? 何为模型误差？ 假设要分析一个支架，我们首先考虑到的问题应该包括：我们想得到什么结果？是最大应力还是最大变形？是固有频率、弯曲刚度、还是温度分布？支架是否处于弹性变形阶段？极限荷载形式有几种情况？如何模拟支撑条件等等。有了一个明确的目标和对我们使用的理论自身局限性的把握，分析者就可以建立模型了。有时这个模型与CAD模型是相似的，但相当多的情况是，为了简化网格的划分，我们有必要修改模型的拓扑描述。部分建模的过程包括以下一些问题：用壳单元模拟薄壁墙体，对对称性、反对称性或两者的运用，是否考虑细部及忽略不重要的特征等。比如，选用壳单元而不用实体单元意味着我们考虑到数学模型和相应的有限元软件的运作方式而作出了一个重要的决定。 当(研究对象的)拓扑描述已经比较理想后，我们还需要对材料属性(选择线弹性、弹塑性或其他)、荷载及支撑条件进行理想的简化。我们认为这些简化精确反应了所需模型的重要数据，而建模当中的一些重要决策有时并未过多的考虑这些(方面)。简化了的模型经常是概念错误的，一个检验模型是否不合理的方法是其解析解对应的应变能是否无穷大或趋近于零；另一个方法是对应于数学模型的我们感兴趣的数据在结果没有得到体现。很多分析者认为一个有效的网格生成器可以生成高质量的网格并降低模型误差，其实不尽然，模型是在网格划分前假定的，因此，最合理的网格划分也无法修正一个简化不合理的数学模型。 A SYSTEMATIC APPROACH 一个系统的方法 确保模型误差较小的唯一方式是把所需研究的数据放在对模型假设不敏感之处。类似地，通过把所需研究的数据放在对离散不敏感之处（不敏感的表现是：结果对更细的网格划分或更大的p值并不发生明显的改变），以减少离散误差。举个例子：比如说我们对一块简支板沿着边缘方向的剪力感兴趣，那么经典的克西霍夫板模型(Kirchhoff’s plate)是不可用的，可以通过一个Reissner模型或一个全3D的弹性模型轻而易举地检验出来。一个关于板弯曲的Reissner模型假设所有平面内位移沿厚度方向呈线性变化、剪应变沿厚度方向保持不变。若采用更厚的板的话会迫使人们去置疑简支的意义、同时会置疑是否可以给出一个精确的物理描述。 通过系统化的途径来控制模型误差，你需要有一个分级的观点。一个定义良好的数学模型应该被看作是一个一般的数学模型的特殊形式。举个例子：一个基于线弹性理论的模型可以看作是一个几何非线性或材料非线性或两者兼而有之的模型的特殊形式。同样地，关于板的Reissner理论是全三维的、内有无限多可能的板模型的特例。当Mises应力比材料屈服点还大时，采用基于线弹性理论的模型是不合理的。对于一个更为庞大的模型，需要用更为复杂精确的理论来模拟实际结构。在任何情况下，在解决非线性问题的时候，线性模型只能被看作是该问题的第一步。 实际上，要控制模型误差非常困难，因为对于很多模型来说，有限元代码与单元定义及其相应理论相关。打个比方，单元库里可能对某单元进行这样的定义：“20节点、triquadratic位移、三线型温度、杂交、线性压力、简化积分”。改变模型就意味着要改变这些单元，这样会增加建模的复杂程度。在很多情况下，由于分析时间的紧凑以及完全进行所需计算时需要极高的专业技术，模型误差甚至都不会得到考虑。 通过系统方式对模型误差进行控制落后于其他有限元的发展。最近的一个名为StressCheck 的代码已经被引入到商业有限元软件中，它能够自动地估计模型误差和离散误差，能对单元的拓扑描述、多项式次数以及相应的理论进行独立处理。比如说，对于可用一个高等模型来模拟弯曲的层状薄板，那么该高等模型的最低层次应该是Reissner 模型，最高到三维情况。通过高等模型的不断重复计算，可以逐渐地“简化”模型假设直到结果不再显著改变为止。 MODELING ERRORS FROM CONVERGENCE TESTS 从收敛性检查中获知模型误差遵循h 准则进行细化网格或者p 准则来增大单元阶数，通过增大模型中自由度的数目等手段，收敛性分析能够减小离散化误差。实际上，任何有限元分析的结果都应该由一个不断收敛迭代的过程而非单步的求解产生。类似的认知在基于使用p 单元技术对每一步解答进行收敛性分析的有限元程序里将会体现的更为透彻，例如Pro/Mechanica, StressCheck，其他的p 准则代码等等。 一次收敛性检查也可以对某一些经常被离散误差掩盖的特殊模型误差例如“奇异解”扮演清道夫的角色。问题是，奇异现象往往是某一个人在自由度数目增加之后观测敏感性数据如何变化时出现的，此时若这些数据不趋于稳态解，则要么就是离散化太粗糙（太少量的单元数或者太低的p 单元阶次），要么就是模型定义错误，或者二者皆有之。 数值收敛性检查并非万无一失的奇异解探测法宝，当敏感性数据缓慢发散时，通过数值计算的方式来进行检查将会非常困难，或者完全不可能。此种情况类似于计算这样一个求和式： 此求和式的极限是无穷大，但是，假设用一百万取代求和的上限值，计算一百万次后再继续进行迭代的话对结果产生的影响几可忽略不计。它似乎是收敛的，当然，最终应该由分析者决定这些对应于解析解的相关数据是有限的还是无穷的。 HAZARDS OF COMPARISONS 比较分析的风险 试验之间的相关性提供了一个快速高效的方法来校核一系列的建模假定，并且帮助查找包括奇异性的模型错误。但无误的关联性也有可能被误读，并不能百分百的证明模型是正确的，为什么呢，因为有限元方法求解的结果包含两方面误差的影响：建模误差和离散性误差【注：离散化误差主要是由插值函数带来的，由于用任何一种单元进行离散，它都有自己的位移或者别的插值函数，其导出的应力，应变值将会受到位移函数的影响，比如说三角形单元，导致单元内的应变值为常数，但精确的应力值是一个平滑过度的应力场】；此二者可近似抵消而得到接近正确的结果。假设某人想用两点来模拟很小的滚轴支撑一根梁，得到其转角值，当此模型基于弹性理论时，用两点来表征滚轴支撑已经发生了概念错误，在点支撑下的转角位移是无限的，这样基于多自由度的有限元模型将会得到偏大的转角位移值。 与此同时，一个粗糙的网格划分将会产生一个较大的离散化误差来掩盖由于低估了转角值带来的概念性误差。一个可信的分析结果得到的转角值应当是在滚轴支撑被正确的模拟之后产生的，偶尔有些情况，模型得到的转角数据也会和某个人看到的试验数据非常接近。 仅此两个错误就可以导致模型的失真，用此类模型计算应力和响应是不可靠的。利用网格划分技术使得计算数据与试验观测值互相匹配的方法被广泛使用，但这并不是一个好方法。为了正确的评价和解释某个试验的结果数据，离散化误差必须比试验观测误差要小，并且，大量的模型离散化误差应该由试验来分别校核。(end)

文章内容仅供参考 (投稿) (1/26/2008)