建模：框图和传递函数 - 文章

建模：框图和传递函数

作者：Kevin Craig

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建模是机电一体化系统设计中最重要的活动，本文将集中讨论，工程师们可以用来从所研究或设计的物理系统的各种不同的物理模型上创建数学模型的技巧和工具。

作为比较的基础，让我们来看两种情况。第一种是常见的普遍情况，也就是一位工程师设计一个元件或系统，并且需要预测该元件或系统的表现。第二种情况，是由不同的供货商设计和制造子系统，但必须收集在一块进行最后的组装。后一种情况，在当今全球经济中的多学科系统中也变得越来越普遍。

用于线性、时间恒定系统建模最常见的技巧是框图，用一个传递函数来表达数学模型。作为第一种情况（设计你自己的元件或系统）的例子，我们就用最简单的动态系统，一阶系统来说明。常用的电阻-电容（RC）系统就是这样的一个例子。下面图1所表示的是一个一阶RC低通滤波器。当工程师认为这种物理模型能够很好地表达实际的物理系统时，他就会对该物理模型运用适当的自然法则，在这里就是运用基尔霍夫电压和电流定律(KVL和KCL)。加上描述每个模型元素之电压-电流关系（对一个电阻e = iR ；对一个电容i = C de/dt）的这种本构关系，你就可以得到一个完整的、该装置之输入输出行为的数学表达式。

在每一个端口，输入和输出或定义电力（电压和电流）的变量被识别区分，并得到完整的描述。得到的由微分方程组成的数学模型，可以通过使用拉普拉斯变换或微分算子（D = d/dt）被变换成代数方程。一旦得到代数方程，输入和输出变量之间的比率，传递函数，就可以确定。

现在，为了说明第二种情况，也就是工程师需要连接两个元件来建立一个系统的情况，我们来串联组合两个同样的RC。工程学的学生们很可能会把两个理想的传递函数相乘来得到一个总输入输出传递函数。这种方法只有在采取步骤保证下游RC电路不从上游RC电路上抽取任何电力时才有用，比如说通过在中间插入一个缓冲运算放大器。对于这种情况，有三种框图/传递函数方法能让工程师用来获取正确的预测。最实用和最相关的一种方法就是利用阻抗的概念。阻抗是在一个端口定义的，是力与流的比率。

上方图2，表示的是一个元件输入或输出端口电压与电流的比率，这个元件的另一个端口具有某一特定条件。如果上游元件的输出阻抗Zo和下游元件的输入阻抗Zi能够通过分析或者通过实验得知，那么，我们就能得到元件互联的整体传递函数。

下面图3表示的是，RC电路的输入阻抗和输出阻抗以及理想传递函数。

有了这个信息，我们就可以预知当两个元件连接在一起时（在这里就是指两个同样的RC电路）整个系统的反应了。这种方法的重要性在于，每一元件的阻抗和理想传递函数可以在不同的地方通过实验得到测量。更重要的是，在这些元件收集到同一地方并连接在一起之前，你就可以可靠地预知整个系统的表现。

Kevin Craig博士，是位于纽约州特洛伊市Rensselaer理工学院的机械工程学教授。

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文章内容仅供参考 (投稿) (11/29/2007)


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