四边形有限元网格划分方法--二分法的改进 - 文章

四边形有限元网格划分方法--二分法的改进

作者：深圳职业技术学院郭晓霞

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摘要：本文提出了一种自动的四边形网格生成法，其实质是把被划分区域无限地分割，直到整个区域全部由四边形单元组成。文中对关键技术最优分割线确定作了改进。实例表明该方法适用性强，可以用于有限元网格的初始划分和网格重分。
关键词：有限元；四边形网格；网格自动划分

1 前言

随着计算机及软件技术的发展以及有限元方法在塑性成型领域的广泛应用，人们提出了许多有效的网格自动划分方法[1]。在塑性有限元分析中，由于考虑到塑性变形时金属变形量大的特点，同时为了提高有限元模拟的精度，常常采用四边形单元网格。目前，可以生成四边形的网格方法大约有十几种，它们各有特点，在此仅简单介绍一些通用性较强且有一定发展余地的典型方法，分别如下：

（1）映射法，出现于20世纪70年代，是最早采用的网格生成法，该方法的核心是首先把目标域离散为便于映射的子区域，然后将四边形网格模板以一定的映射关系映射到各子区域，如图1所示，从而生成有限元网格。映射法的缺点是网格的密度难以控制，边界单元的规整性差，因此不适合应用于塑性有限元分析；

图1 映射法的示意图

（2）区域递归细分法，这类方法是基于目标域的几何描述，递归地生成有限元网格。算法的原理为首先把区域的初始边界离散为一系列点，构成一个逆时针方向的环，然后再对环所封闭的区域进行迭代地划分，直至所有的环都为六节点环或四节点环，最后把六节点环划分为2个、3个或4个四边形单元，如图2所示。从图中可看出，区域分割线的确定是算法的关键。本文提出的二分法就属于区域递归细分法；

（3）单元迭代生成法，这类方法是从区域边界向里一次生成一个单元，如此执行下去直到区域内铺满四边形单元为止。其中最具代表性的是Paving法[2]，如图3所示。该方法的关键及难点在于如何处理单元缝隙和单元相交问题；

（4）基于栅格法，其基本思想是将一完全包含目标域的规则网格置于其上，除去落在目标域之外的栅格单元，并对与目标域相交的栅格单元进行调整或裁减以满足边界条件的要求，如图4所示，这类方法的不足之处在于最终生成的网格与选择的初始网格及其取向有关，且网格密度不易控制。上述就是目前存在的几种典型的四边形网格生成方法。

在塑性有限元分析中，网格划分及重分的自动化程度对于有限元软件的发展及推广非常重要。多年来，国内外的学者对此作了大量的工作，目前，国外已有成熟的塑性有限元模拟软件DEFORM，国内虽然相继有一些院校和科研所在开发，但仍处于试用阶段，未真正达到工程推广应用的程度，其重要原因之一就是缺少可靠、高效适合塑性成形特点的网格自动生成算法及其程序。为此，在对国内外网格划分方法研究的基础上，提出了一种适合于金属成形的四边形网格划分方法—二分法，该方法就属于区域递归细分法。该方法可以对由偶数个节点所组成的任意边界区域进行划分，并且可以在划分过程中控制网格的密度，这一点对于网格的自适应划分非常重要。

本文提出的四边形网格生成法的基本原理已在前期的论文[3]中阐述，现对其中的一些关键技术作进一步改进，使该方法更加完善，程序的运行速度更快。

2 算法的关键技术

2.1 分割线的确定

分割线的确定是该算法的核心部分。分割线是连接区域或子区域边界上两个点的线段，可以把一个区域分割为两个子区域。实际上，边界上任两个点的连线并不一定都可以把区域一分为二。因此，首先要确定哪些连线是可能的分割线，然后再从可能的分割线中按一定的规则选取最优的分割线。图5是区域分割线的示意图，其中点i和j为被分割区域边界上的两个节点，线段ij就构成了区域的一条可能分割线，其长度为l，由虚线组成的边界是一个可以完全封闭被划分区域的矩形，该矩形的对角线长度为d，θk（k=1,2,3,4）是由可能分割线ij与通过点i和j的区域边界线段所形成的夹角。

2.1.1 可能分割线的确定

首先分割线把区域划分为两个子区域后子区域边界上的节点必须大于或等于4。其次，分割线必须在区域内部，常用的判别方法是如果分割线与被分割区域边界上的线段没有除端点以外的交点，且分割线线段的中点在区域内部，则该线段为可能的分割线。上述方法虽简单，但需要对被测分割线与区域边界线段进行是否相交的检测，计算量大，大大降低了网格划分的效率。为了实现网格的快速有效划分，采取了如下判别步骤。假设区域的边界由m条线段组成，被检测的分割线的端点分别为i和j，如图5所示。

1、先判断由被测线段分割所形成的两个子区域边界上的节点数是否小于4，如果小于4，表明被测线段被排除，如图6a)所示，线段ij把区域划分为两个子区域，但其中一个子区域只有三个边界点，所以线段ij不可能作为区域的分割线；否则进行第二步的判别。

图6 无效的区域分割线
Fig.6 The invalid splitting line

2、判断边界上除点i和j以外所有点与线段ij的位置关系。从边界上某一点开始，依次判断每个点（除点i（xi,yi）和j（xj,yj）以外）与线段ij的位置关系。假设k边界上除点i和j以外的任一点，其坐标为（xk,yk），把矩阵

的行列式作为判别式，如果行列式的值小于零，则点的排列k-i-j为顺时针方向；如果行列式的值大于零，则点的排列k-i-j为逆时针方向；如果行列式的值等于零，则点的排列k-i-j为在一条直线上（即点k在线段ij或其延长线上）。对于边界轮廓上除i和j以外的任两相邻点e（xe,ye）和f（xf,yf），有以下两种情况：

（1）任两相邻点e和f的矩阵行列式的乘积等于零，则说明点e或f在线段ij或其延长线上。假定点e的行列式为零，则还需进一步判断点e和线段ij的关系，如果 (ye-yi)·(ye-yj)<0或 (xe-xi)·(xe-xj)<0，则线段ij通过点e，如图6c)所示；

（2）任两相邻点e和f的矩阵行列式乘积不等于零，如果乘积小于零，说明点e和f位于线段ij的两侧，两相邻点e和f构成的线段可能与线段ij或其延长线相交，所以还需要进行第三步的判断；如果乘积大于零，说明点e和f位于线段ij的同侧，线段ij是否是区域的可能分割线，还需在边界轮廓上除i和j以外的所有点的矩阵行列式都计算出来后再判断。

如果边界轮廓上除i和j以外的所有点的矩阵行列式的乘积大于零，则说明线段ij位于被划分区域之外，如图6b)所示。

3、计算线段ij的中点C（xc,yc）和点C到点i的距离r，计算两相邻点e和f构成的线段与线段ij的交点P（xp,yp），如果式子(xc-xp)2+(yc-yp)2
2.1.2 最优分割线的确定

满足上述要求的分割线很多，如何从这些可能的分割线中选出最有优的分割线是算法的关键技术，它直接影响网格划分的质量和效率。在前期的论文[2]中，最优分割线确定时用到了两个无量纲参数即角度和长度的偏差线性组合S，具体式子为：

其中c1 ,c2是权因子，是常数；θk（k=1,2,3,4）是由可能分割线和环形成的夹角；l 是可能分割线的长度；d是能完全封闭环的矩形对角线的长度，如图5所示。由上述式子计算S得最小值所对应的可能分割线为该环的最优分割线。该准则在区域边界不复杂的情况下是非常有效的，然而该准则却不能区分图7中的(a)和(b)两种情况，通常，第一种情况(a)更有利于提高网格质量。为此提出了一种新的最优分割线确定方法，具体式子如下：

当被分割区域为凸多边形时，应用式子（2）；当被分割区域为凹多边形时，应用式子（3）。在式子（1）和（2）中，c3和c4是权因子，可以把图7中的两种情况区分开；θmin表示被分割子区域边界节点内角的最小值；θi和θj表示节点i和j的内角（顺时针方向）；φ(θ) 为：

图7 优劣分割线的比较

在上述式子中，权因子c1、c2、 c3和c4的直接影响到网格划分的质量，经多次试验，权因子c1可取为.5，权因子c2可取为.2，权因子c3可取为.15，权因子c4可取为.15。

3 网格自动划分实例

本文提出的网格生成法原理简单，通用性强。下面是车轮锻造成形的例子[4]。图8a）是车轮预成形的初始网格。在上成形模向下运动的过程中，轮毂处的金属最先发生塑性变形，同时由于模具的圆角处轮廓形状变化趋势较大，边界节点沿模具表面产生拖动现象，边界单元与模具表面发生干涉，如图8b）所示，此时的有限元网格已不能较好地逼近实际金属流动所形成的轮廓，致使模拟精度降低。因此，当干涉或网格的畸变达到一定程度时，必须进行网格重分，以使模拟能继续进行下去。在车轮的整个预成形过程中，网格共重新划分4次，如图8中的c）、d）、e）所示。图8f）是预成形结束时的网格，从中可看出，网格经优化处理后，单元内角都在20°～160°，且自然地实现了不同区域之间网格的过渡。

由上述可知该方法通用性较强，可成功地应用于塑性有限元模拟。

图8 车轮预成形过程中的典型网格

参考文献（References）:
1. 关振群. 有限元网格生成方法研究的新进展.计算机辅助设计与图形学报,2003, 15(1)：1-14
2. 郭晓霞. 特别适用于金属成形的四边形网格划分方法. 塑性工程学报. 2003,10 (6)：50-54
3. Blacker T D, Stephenson M B. Paving: A new approach to automated quadrilateral mesh generation[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1991, 32(4): 811-847.
4. 郭晓霞. 火车车轮成形工艺及有限元模拟. 锻压技术. 2003,28 (5)：1-4

个人简历：女，硕士，讲师
通信地址：深圳西丽湖深圳职业技术学院先进制造系郭晓霞 518055
电话号码：0755-26731641 E_mail: guoxiaoxia@oa.szpt.net (end)

文章内容仅供参考 (投稿) (如果您是本文作者，请点击此处) (6/12/2007)


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