摘要：采用有限元法对单螺杆泵的螺杆和衬套进行静态分析，得到了螺杆的应力、应变云图和衬套在均匀压力作用下的应力、应变及变形随压力变化的分布规律；对螺杆的直径和导程，衬套的材料进行参数化研究和灵敏度分析，得到了优化参数，为螺杆泵的优化设计提供了理论基础和有效的数值模拟方法。
关键词：螺杆；衬套；橡胶；有限元法；参数化
1 前言
单螺杆泵是一种内啮合的封闭式螺杆泵，可用于输送中性或腐蚀性的液体，广泛应用于食品、纺织、造纸、石油、化工、建筑等领域。它的主要工作部件由具有双头螺旋空腔的定子（衬套）和在定子孔内与其啮合的单头螺杆（转子）组成。定子衬套采用橡胶材料，不仅是易损件，而且它与转子的尺寸以及配合状况直接影响螺杆泵的工作性能，为此本文选择螺杆和衬套进行变形和应力分析，通过参数化研究和灵敏度分析，确定优化参数。
2 静态有限元分析
2.1 有限元模型
衬套内表面为双头螺旋面，螺杆外表面为单头螺旋面，从几何方面来看虽然很有规律性，但这种空间曲面的生成方式较为复杂。ANSYS前处理生成三维模型的方法具有类似的特征，即由点和线生成面，再由线和面的操作(如拉伸、旋转和切割等)来生成三维的体，这里所利用的线一般是平面直线或曲线，而不是空间曲线，因此具有螺旋对称形式的三维模型采用专业CAD绘图软件Pro/E绘制，然后导入ANSYS中，进行网格划分。
下面以G40-1螺杆泵为例建立模型，几何参数：缸体外套外径106mm，壁厚10mm，衬套外径96mm，螺杆直径42mm，衬套与螺杆偏心距7.5mm，螺杆长253mm，衬套长212mm。图1为由Pro/E导入的几何模型和ANSYS划分的网格图。
图1 由Pro/E导入的几何模型和ANSYS网格图
2.2 材料模型
缸体外套和螺杆材料均为45钢，弹性模量E1＝200GPa，泊松比μ1＝0.3，材料模型按线弹性处理。衬套材料为丁腈橡胶，可视为不可压缩材料，由于衬套变形较小，故橡胶材料的本构关系也按线弹性处理，弹性模量E2＝4GPa，泊松比μ2＝0.499。螺杆泵工作压力为0.6MPa。
2.3 边界条件及结果分析
2.3.1 螺杆
当泵输入轴通过万向节驱动螺杆绕定子作行星回转时，螺杆受电机输入的扭矩为17.48Nm，液体对螺杆的阻力矩以及螺杆与衬套摩擦产生的阻力矩之和与该扭矩相平衡。图2为螺杆的变形云图、Mises应力云图和剪应力云图。从结果可以看出，螺杆变形很小，仅为0.009mm，Mises应力为3.74MPa，小于强度极限，强度安全，扭转的剪应力约为2MPa，小于材料的许用应力，满足扭转强度。
图2 螺杆的变形云图、Mises应力和剪应力云图
2.3.2 衬套
衬套外径与缸体相连，缸体固定，工作时衬套内表面受液体压力的作用，同时还受与螺杆接触摩擦的影响。衬套三维模型的分析结果与采用平面应变模型的分析结果基本上没有差别，为了提高求解效率，采用平面应变模型。图3为衬套平面应变计算模型，为了分析内轮廓线的变形，沿内轮廓线建立了局部坐标如图4，位置从A→B→C→D→E→F→G→H→A，长度为191mm，X—Y为全局坐标。
图5为衬套在0.6Mpa均匀内压作用下Y向和X向变形图，Y向位移最大出现在A、E两点，即直线段中点，为0.029mm，X向位移最大出现在C、G两点，即圆弧段中点，为0.015mm。图6为剪应变和Mises应力图，最大剪应变出现在圆弧的四角，为0.26%，Mises应力很小，最大为0.0065MPa，缸体外套应力大一些。
图5 在0.6Mpa均匀内压作用下Y向和X向变形图
图6 剪应变和Mises应力图
3 参数化研究
进行灵敏度分析时需要改变结构设计参数，再进行有限元分析，为此采用ANSYS提供的APDL语言编写程序，使分析过程自动化。以下是进行螺杆参数化有限元分析的程序。
/AUX15
IOPTN,IGES,NODEFEAT ！进入“igs”文件转换器
……
IGESIN,'d42','igs','..\..\..\igs\luoxuan\iges\' ！导入几何模型
……
/PREP7 ！进入前处理器
ET,1,SOLID45 ！定义单元
ET,2,MASS21
R,1,1,1,1, , , , ！定义实常数
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,2e5 ！定义材料特性
MPDATA,PRXY,1,,.3
……
ESIZE,5,0, ！定义单元尺寸
……
VMESH,_Y1 ！划分网格
N,9000,0,0,253.5,0,0,0, ！创建节点
N,9001,-2.5,24,-58.5,0,0,0,
TYPE, 2
E, 9000 ！创建单元
E, 9001
FLST,5,76,1,ORDE,5 ！创建刚性域
……
CM,_NODECM,NODE
*SET,_z1, 9000
……
CERIG,9000,ALL,UXYZ, , , ,
/SOL ！进入求解器
……
F,P51X,MZ,17.48e3 ！施加扭矩
FLST,2,1,1,ORDE,1
FITEM,2,9001
F,P51X,MZ,-17480
d,1034,ux, uy, uz,0,0,0 ！施加位移约束
d,2959,ux, uy, uz,0,0,0
Solve ！求解
/post1 ！进入后处理器
……
4 灵敏度分析
灵敏度是一个广泛的概念，从数学意义上可理解为：若一个函数F(x)可导，其一阶灵敏度可表示为
，前者称为一阶微分灵敏度，后者称为一阶差分灵敏度。这里采用的方法是首先对研究目标有较大影响的设计参数进行定性分析，缩小研究范围，然后对设计的一个或多个参数在一定范围内变化，分析结果显示出设计参数的改变对研究目标的影响变化情况，即全局灵敏度分析。下面分别说明螺杆和衬套的灵敏度分析过程。
4.1 螺杆
螺杆几何形状主要由直径d和导程L决定，它决定了密封工作腔的大小，即泵的排量。改变d和L时，不仅改变排量，而且对螺杆的变形和应力也有影响。这里进行灵敏度分析时，讨论泵排量不变的前提下，d和L对螺杆的影响。
图7为d对螺杆变形以及剪应力和Mises应力影响的关系曲线。图8为L对螺杆变形以及剪应力和Mises应力影响的关系曲线。从结果可以看出：变形与应力随螺杆直径的增加而降低，随螺杆导程的增加而增大。当直径小于42mm，导程大于100mm时这种降低和增大的变化非常显著。由于排量不变时，直径与导程成反比，因此，优化结构参数时必须同时权衡这两个量。
4.2 衬套
虽然橡胶衬套应力很小，但变形相对大，工作中非常容易破坏，所以螺杆泵的工作性能与衬套内轮廓线变形情况密切相关。衬套的变形主要受工作压力和材料可压缩性质的影响。
图9给出衬套内轮廓线变形随压力变化的曲线。由图中可以看出，Y向位移沿局部坐标呈“W”形状分布，数值随内压的增加而增大，最大值出现在直线段的中点，而此时对应的X向位移近似为0；X向位移也在随内压的增加而增大，最大值位于两圆弧段中点，此时对应的Y向位移近似为0；Y向位移的最大值要远大于X向位移的最大值。
图9 衬套内轮廓线变形随压力变化曲线
图10给出材料的泊松比对衬套内轮廓线变形的影响曲线，随着泊松比取值的减小，内轮廓线位移显著增大，相差约一个数量级，但位移分布规律没有受到影响。由于橡胶是近似不可压缩材料，其微小压缩性对橡胶结构力学性能的影响往往不容忽视。
图10 衬套内轮廓线变形随泊松比变化曲线
5 优化结果
由以上的灵敏度分析可知：
对于螺杆，综合直径和导程两个参数，为了获得合理的变形和应力，取直径42mm，导程100mm最佳，此时的几何形状也最为合理。
对于衬套，为了减小变形，应尽可能选择泊松比大的橡胶材料，即不可压缩性材料。
6 结论
本文通过对单螺杆泵的螺杆和衬套的变形和应力以及变形随压力变化规律的分析；以螺杆的直径、导程和衬套的材料作为变量，进行参数化研究和灵敏度分析，得到了优化参数，为螺杆泵的优化设计提供了理论基础和有效的数值模拟方法。
[参考文献]
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[2] 王国强. 实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实现[M].西安：西北工业大学出版社，2000
[3] 王勖成，邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法（第2版）[M]. 北京：清华大学出版社，1999(end)
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