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有限元分析中的单位问题
作者：浙江大学化机所 葛颂
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通用有限元分析软件, 结构分析软件, 动力学分析软件, 声学分析软件, 板料冲压成形模拟软件, ...
大多数有限元计算程序都不规定所使用的物理量的单位，不同问题可以使用不同的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一就可以。但是，由于在实际工程问题中可能用到多种不同单位的物理量，如果只是按照习惯采用常用的单位，表面上看单位是统一的，实际上单位却不统一，从而导致错误的计算结果。

比如，在结构分析中分别用如下单位：长度 – m；时间 – s；质量 – kg；力 - N；压力、应力、弹性模量等 – Pa，此时单位是统一的。但是如果将压力单位改为 MPa，保持其余单位不变，单位就是不统一的；或者同时将长度单位改为 mm，压力单位改为 MPa，保持其余单位不变，单位也是不统一的。由此可见，对于实际工程问题，我们不能按照手工计算时的习惯来选择各物理量的单位，而是必须遵循一定的原则。

物理量的单位与所采用的单位制有关。所有物理量可分为基本物理量和导出物理量，在结构和热计算中的基本物理量有：质量、长度、时间和温度。导出物理量的种类很多，如面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等等，都与基本物理量之间有确定的关系。基本物理量的单位确定了所用的单位制，然后可根据相应的公式得到各导出物理量的单位。具体做法是：首先确定各物理量的量纲，再根据基本物理量单位制的不同得到各物理量的具体单位。

基本物理量及其量纲：

· 质量 m；
· 长度 L；
· 时间 t；
· 温度 T。

导出物理量及其量纲：

· 速度：v = L/t；

· 加速度： a = L/t2；

· 面积： A = L2；

· 体积： V = L3；

· 密度：ρ= m/L3；

· 力： f = m·a = m·L/t2；

· 力矩、能量、热量、焓等： e = f·L = m·L2/t2；

· 压力、应力、弹性模量等： p = f/A = m/(t2·L) ；

· 热流量、功率：ψ= e/t = m·L2/t3；

· 导热率： k =ψ/ (L·T) = m·L/(t3·T)；

· 比热： c = e/(m·T) = L2/(t2·T)；

· 热交换系数： Cv = e/(L2·T·t) = m/(t3·T)

· 粘性系数： Kv = p·t = m/(t·L) ；

· 熵： S = e/T = m·l2/(t2·T)；

· 质量熵、比熵： s = S/m = l2/(t2·T)；

在选定基本物理量的单位后，可导出其余物理量的单位，可以选用的单位制很多，下面举两个常用的例子。

1 基本物理量采用如下单位制：

· 质量 m – kg； （应该采用Mg单位才统一，具体可以参考MSC.MARC中的材料库统一单位，推导）
· 长度 L – mm；
· 时间 – S；
· 温度 – K (温度 K与 C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与 kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：

· 速度： v = L/t = mm/S = 10-3 m/S；

· 加速度： a = L/t2 = mm/S2 = 10-3 m/S2；

· 面积：A = L2 = mm2 = 10-6 m2；

· 体积：V = L3 = mm3 = 10-9 m3；

· 密度：ρ= m/L3 = kg/mm3 = 10-9 kg/m3 = 10-6 g/cm3；

· 力： f = m·L/t2 = kg·mm/S2 = 10-3 kg·m/S2 = mN (牛)；

· 力矩、能量、热量、焓等：e = m·L2/t2 = kg·mm2/S2 = 10-6 kg·m2/S2 = µ J (焦耳)；

· 压力、应力、弹性模量等：p = m/(t2·L) = kg/(S2·mm) = 103 kg/(S2·m) = kPa (帕)；

· 热流量、功率：ψ= m·L2/t3 = kg·mm2/S3 = 10-6 kg·m2/S3 = µ w (瓦)；

· 导热率：k = m·L/(t3·T) = kg·mm/(S3·K) = 10-3 kg·m/(S3·K)；

· 比热：c = L2/(t2·T) = mm2/(S2·K) = 10-6 m2/(S2·K)；

· 热交换系数：Cv = m/(t3·T) = kg/(S3·K)；

· 粘性系数：Kv = m/(t·L) = kg/(S·mm) = 103 kg/(S·mm)；

· 熵：S = m·L2/(t2·T) = kg·mm2/(S2·K ) = 10-6 kg·m2/(S2·K )；

· 质量熵、比熵：s= L2/(t2·T) = mm2/(S2·K ) = 10-6 m2/(S2·K )；

基本物理量采用如下单位制：

· 质量 m – g；

· 长度 L – µm (10 6 m)；

· 时间 – mS (10–3 S)；

· 温度 – K (K与 C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与 kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：

· 速度：v = L/t = µm/mS = 10-3 m/S；

· 加速度：a = L/t2 = µm/mS2 = m/S2；

· 面积：A = L2 = µm2 = 10-12 m2；

· 体积：V = L3 = µm3 = 10-18 m3；

· 密度：ρ= m/L3 = g/µm3 = 10-21 kg/m3 = 10-12 g/cm3；

· 力： f = m·L/t2 = g·µm/mS2 = 10–3 kg·m/S2 = mN (牛)；

· 力矩、能量、热量、焓等：e = m·L2/t2 = g·µm2/mS2 = 10 -9 kg·m2/S2 = 10-9 J (焦耳)；

· 压力、应力、弹性模量等： p = m/(t2·L) = g/(mS2·µm) = 109kg/(S2·m) = 109Pa (帕) = GPa；

· 热流量、功率：ψ= m·L2/t3 = g·µm2/mS3 = 10-6 kg·m2/S3 = 10-6 w (瓦)；

· 导热率：k = m·L/(t3·T) = g·µm/(mS3·K) = kg·m/(S3·K)；

· 比热：c = L2/(t2·T) = µm2/(mS2·K) = 10-6 m2/(S2·K)；

· 热交换系数： Cv = m/(t3·T) = g/(mS3·K) = 103 kg/(S3·K)；

· 粘性系数： Kv = m/(t·L) = g/(mS·µm) = 106kg/(S·mm)；

· 熵： S = m·L2/(t2·T) = g·µm2/(mS2·K ) = 10-9 kg·m2/(S2·K )；

· 质量熵、比熵： s = L2/(t2·T) = µm2/(mS2·K ) = 10-6 m2/(S2·K )；

由此可见，掌握了单位之间变换的方法，就可以根据自己的需要来选择合适的单位制。更多的例子见表1。表2给出了几种单位制与 kg-m-S 单位制之间的换算因子




注：后三列中给出的是将kg-m-S 单位制中的数值转换到其它单位制时 (在准备输入数据时) 所乘的因子；如果需要将其它单位制中的数值转换到kg-m-S 单位制 (在分析计算结果时)，则应该除以该因子。

(end)
文章内容仅供参考 (投稿) (6/7/2006)
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