机械工程中常见振动的相平面分析 - 文章

机械工程中常见振动的相平面分析

作者：张立军曾庆东刘志平

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振动是机械工程中常见现象。随着科学技术的发展，对产品的质量、精度和可靠性都提出了更高的要求，因而在设计中不仅考虑静态特性，更重要的是要考虑动态特性。要获得良好的动态特性必须进行振动分析，即首先对研究对象进行建模再进行响应求解，这是比较常见的分析方法。这里则从另一角度即从振动的相轨迹来分析振动特性，这对进一步认清振动的本质，进行振动控制和利用都具有参考价值。

1线性振动的相平面分析

1.1有阻尼自由振动
有阻尼自由振动是机械工程中最常见现象其振动微分方程如下：

（1）

m——质量，c——阻尼系数，k——刚度系数。
在初始条件x(0),

(0)作用下产生的振动规律为

(2)

式中：

(3)

(4)

于是

(5)

由式(4)、式(5)则构成相平面图(如图1所示)，由该图可以看出有阻尼自由振动相轨迹趋于稳定焦点。

图1有阻尼自由振动的相平面图

1.2有阻尼强迫振动
这种振动是指在周期外力作用下的振动，如旋转件的不平衡引起的振动，其振动微分方程为：

(6)

Fo——激振力振幅；
W——激振力频率。
则

x(t)=Fcos(wt-φ)(7)

(8)

(9)

于是

(10)

当取无量纲数值m=1,c=0.3,k=1,F=1,w=1.2时的相平面图如图2所示，可见有阻尼强迫振动相轨迹为一椭元。

图2有阻尼强迫振动的相平面图

1.3有阻尼共振
对于(6)式当w=1其它参数取值不变时即为一共振系统，其方程为：

(11)

用数值方法求出x(t)、

(t)。为分析阻尼系数的影响，图3给出了c=0.1c=0.5时的相平面图，从该图可以看出：有阻尼共振系统的相轨迹趋于一椭元，而且对阻尼系数比较敏感。

图3有阻尼共振的相平面图

2非线性系统相平面分析

2.1非线性有阻尼共振系统
对于如下非线性振动系统

(12)

由于该方程很难求出解析解，因此需用数值方法求解x(t),

(t)。在计算时取m=1,c=0.1,0.5,k=1,ko=1,Fo=1,w=1,相平面图如图4所示，由该图可以看出，对于非线性共振系统其相平面图经过暂短的振荡之后趋于一极限环，而且该极限环对阻尼变化不敏感，当阻尼系数由0.5降至0.1时，极限环变化很小。这一结论对非线性振动的利用很有价值，在振动设备设计时可考虑采用非线性共振原理，这样可不受阻尼变化影响而使设备性能稳定，进而减小设备动载荷提高设备使用寿命。

图4非线性共振系统相平面图

2.2非线性分叉、浑沌系统
考虑如下非线性系统：

(13)

这一非线性系统对激振力幅值F比较敏感，当改变F值时可获得丰富的振动性态。当F=0.28262时系统产生倍周期分叉，其相轨迹如图5所示。当继续加大F，在此基础上又出现倍周期分叉，当F=0.297时倍周期分叉达到临界状态，其相轨迹几乎连成一片(如图6所示)。当F=0.32时系统产生浑沌现象，其相平面图如图7所示。

图5非线性分叉系统相平面图

图6非线性分叉临界状态相平面图

图7非线性浑沌系统相平面图

3结论

(1)用相平面法分析各种振动，可进一步加深对振动本质的认识。
(2)这里分析表明非线性有阻尼共振系统其相轨迹对阻尼不敏感，因此有利于振动利用。
(3)用相平面分析非线性分叉、浑沌系统是一种实用方法。■

作者单位：张立军（辽宁工学院，锦州121001）
曾庆东（锦州万得汽车减振器有限公司）
刘志平（锦州铁合金厂）

参考文献：

［1］季文美，方同，陈松淇等.机械振动.北京：科学出版社，1985.
［2］刘秉正.非线性动力学与浑沌基础.长春：东北师范大学出版社，1994.(end)

文章内容仅供参考 (投稿) (如果您是本文作者，请点击此处) (10/8/2005)


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