國立成功大學材料科學及工程學系
摘要：本研究发展了一套可以分析离心铸造制程的模流解析系统，同时利用这套系统对离心铸造制程中铸件和流道的倾角作最佳化的设计。本研究所发展的计算机仿真系统主要是将两个新的模块整合进先前开发的铸造模流充填分析系统中。其中一个模块是用来计算铸件上各个位置所受到的离心力大小。离心力的大小和制程中的转速、流道和铸件的倾角及离心铸造制程中其它相关的设计皆有关系。另一个模块则是用来将计算出来的离心力整合进模流充填系统中的动量方程式中。一个具有29个叶片的离心铸造涡轮盘片被用来测试本研究所开发的系统。本研究发现铸件和流道间的倾角对铸件的充填模式有很大的影响。当倾角小的时候，充填模式为先充填盘片下面的部分再充填上面的部分。当倾角变大时，充填模式改变为先充填盘片上面的部分再充填下面的部分。本研究得到在转速为150RPM时，最佳的倾角为20度，此时可得到最平均的充填行为。
关键词：离心铸造、充填仿真、精密铸造、超合金
一、 前言
精密铸造是一种高精度的铸造制程。制程一开始会先制作一个可消耗的模型，这个模型通常是以蜡利用射出成型的方式制作而成。接着将蜡型和浇流道系统组合在一起，之后将这整个系统浸到陶瓷浆液中制成壳模。待壳模干燥后再将里面的蜡型熔出来即可进行铸造的制程。当金属液凝固后再将壳模敲碎即可得到成型的铸件。不过，当所欲制造的铸件为薄件或是其它形状复杂难以充填的铸件时，在壳模要进行铸造时通常会加以旋转，利用旋转时的离心力来得到更好的充填，此即为精密铸造中的离心铸造制程。
本研究所探讨的即是精密铸造中的离心铸造制程，离心精密铸造制程和其它铸造制程(砂模铸造，固定模铸造等)相比是相当的复杂，铸件的品质亦和许多制程参数有关，如转速、浇注温度、壳模厚度及流道设计等等。传统上为了改善铸件品质皆是以试误法来求得最佳的制程参数，这种方式不但贵而且很花时间。近年来由于材料制程计算机仿真技术的高度发展，若能改以仿真的方式来改善方案设计的话，将能节省许多的金钱及时间。许多学者曾针对铸造仿真技术应用在精密铸造制程上作过探讨[1-2]，然而却少有人对于离心精密铸造制程作过研究。本研究尝试开发一套能处理离心铸制程的模流分析系统，并以此为工具针对一实际生产含叶片的涡轮盘片铸件离心铸造制程中的组树倾角作分析，目的是能以科学化的方式找出最佳的组树倾角。
二、数学模式
2.1 物理系统的描述
图1为一个涡轮叶片组的浇流道系统及铸件示意图。此方案设计为一组浇流道系统可以接12个铸件。整个系统在铸造时会以150RPM的转速作旋转。当熔融金属液从浇口进入后会分别流进12个流道。金属液在流道中因为受到离心力及重力的相互作用而作变加速度运动最后以某个初始速度充填铸件。金属液在充填铸件模穴时除了具有因在流道中加速所获得的初始速度外还受到重力及离心力的作用，本研究所探讨的就是在这种情形下金属液充填模穴的情况。因为这12个铸件的放置具有几何对称，所以为了简化计算，本研究将只针对单一铸件作分析。图2为单一铸件及其对应浇流道示意图。由图上可知，流道和水平线成15度的夹角，如果铸件和流道垂直，铸件和垂直线亦将成15度的夹角。
Fig. 1 Casting with running system in the centrifugal casting process
Fig. 2 A schematic illustration of the one casting/ runner assembly
2.2 Algorithm for mold filling simulation
离心铸造过程熔融熔金属流动的特性是其流体区域不断在扩充，而其自由表面的位置必须经由计算来决定，所以在建立此数学模式时，不仅要能解瞬时的流体流动的问题，并且要能追踪自由表面的轨迹。
此数学模式假设熔融熔金属为一不可压缩的牛顿流体，描述此流体流动的统御方程式为连续方程式及动量守恒方程式。若令u为速度，ρ为密度，p为压力，μ为粘滞系数，g为重力，则连续方程式可写成下列的形式： (1)
动量守恒方程式可写为下面的形式：
(2)
其中的D是一个张量，张量中各元素定义如下： (3)
在方程式的数值解析上，此数学模式是采用有限差分法来作离散，同时利用SOLA的解题技巧来对速度求解。在自由表面的追踪上，此数学模式是采用VOF法来追踪自由液面的变化。有关SLOA及VOF的详细描述请参考References[3-10]。
2.3 离心力的处理
离心铸造与其它铸造制程最大的不同是熔融金属液除了受到重力的作用外还受到离心力的作用，因此本研究的重点之一即是在如何将离心力的效应结合在模流分析系统中。所以本研究所考虑的动量守恒方程式将变成下面的形式： (4)
方程式中的 即为离心加速度。
图3为涡轮盘片于制程中的受力示意图，如图所示，盘片上的各点皆受两个力的作用，分别为重力及离心力。重力在盘片上各个位置上的大小皆相同，但是离心力则不然。根据定义，离心力的大小为mrω2，这里的m为质量，r为旋转半径，ω为角速度。所以离心力的大小和转速及旋转半径有关，若转速为定值时，离心力就只和旋转半径有关。如图3所示，涡轮盘片上各点和旋转轴的距离皆不相同，亦即各点所受的离心力大小也不相同。此外，若盘片的倾角θ改变时，也会改变各点和旋转轴的距离，进而影响到盘片上各点的受力。为了处理这种情形，本研究特别将加速度的计算和流场的计算分开处理。也就是先将各个网格的受力大小算出来，然后再将结果整合进动量守恒方程式中进行流场计算。如此不但能简化程序的结构，同时因为不需在每个时间间隔重新计算网格的受力情形亦可增进计算的效率。
Fig.3 A schematic illustration on how gravitational force and centrifugal force act on the casting during the casting process
三、结果与讨论
本研究分析的对象是一个具有29个叶片的涡轮盘片在离心铸造过程中不同组树倾角对模流充填行为的影响，其铸件与浇流道的设计如图1所示，单一铸件及其对应的浇流道如图2所示。这个方案设计应用在实际制造中发现，经常在某一边的叶片末端有充填不满的情形出现。由图3的铸件受力图发现重力和离心力在平行铸件的方向上是同向的，也就是说，对于上半部的叶片而言，金属液在充填时是受到一阻力。相反的，对于下半部的叶片而言，金属液在充填时则是受到一个助力。本研究认为这个受力情形很有可能是造成铸件充填不满的原因之一，因此，本研究利用我们所开发的离心铸件仿真系统针对不同的组树倾角作分析，希望能以科学的方式找出最佳的设计。
这里我们定义盘片和垂直方向的夹角为组树倾角，若盘片为垂直，则倾角为0度，若盘片向逆时针倾斜θ度则组树倾角为-θ度(θ为正值)，若盘片向顺时针倾斜θ度则组树倾角为θ度。由前述的分析可知，若组树倾角为负值时，对上半部的盘片充填皆有不利的影响，所以本研究将针对组树倾角从0度到40度，每隔10度作一次分析，而不考虑倾角为负值的情形。
因为涡轮叶片是一个形状复杂的铸件，若直接拿完整铸件来进行倾角的测试将会是一个耗时的大工程。所以本研究将准备两个网格文件来进行仿真的分析，一个为不含叶片(图4)的部分，另一个为完整铸件(图5)。本研究首先先以不含叶片的网格系统(93×93×25)对不同倾角之条件进行分析，待找出最佳条件后再使用完整铸件的网格系统(183×183×43)对先前所找出的最佳条件进行分析测试，以验证是否也可得到最佳的充填情形。本研究所使用的相关制程参数如表1所示。
Fig.4 Mesh system of the simpler turbine disc casting (93×93×25)
Fig.5 Mesh system of the whole turbine disc casting with 29 blades (183×183×43)
Table 1. Process conditions in the first trial
Rotation speed Pouring temperature Tilt angle alloy
150 RPM 1400℃ -15° Inconel718
3.1各元素的受力分析
为了计算在离心铸造过程中铸件各网格位置的受力情形，本研究成功开发离心铸造制程之受力计算模块，分析θ由0°到40°间各网格在离心铸造过程中的受力情形。如图6的示意图所示，模穴内任意点皆受离心力Cf和重力G两力的作用。分别将离心力和重力分解成平行模穴和垂直模穴的分量。Cf分解为Cfx及Cfz；G分解为Gx及Gz，即投影到模穴坐标上的合力Fx=Cfx – Gx = Fsinθ– Gcosθ，Fz = Cfz + Gz = Fcosθ+ Gsinθ。所以随着θ的增加Fx将会由负变正，Fz则皆为正值。图7为不同组树倾角下金属液在铸造过程中受力分布的计算结果，这里的θ所指的是铸件和空间中垂直方向上的夹角。由图7的计算结果可以发现，随着θ的增加，合力作用的方向将由斜向下逐渐变成斜向上，这是因为Fx为平行铸件方向，Fz为垂直铸件方向，所以随着θ的增加合力作用的方向会由斜向下逐渐变成斜向上。同时在倾角为20度时达到一个平衡，这是由于离心力和重力相互平衡的结果。
Fig. 6 A schematic illustration of the decomposed components of the gravitational force and centrifugal force
Fig.7 Profiles of the resultant acting on the casting for various tilt angles (black arrow shows the direction of the resultant)
3.2组树倾角对灌模充填的影响解析
图8到图12是在不同组树倾角下灌模充填解析计算的结果。从上述的结果可以发现，不同的组树倾角对灌模充填时的流动行为有很大的影响。以倾角为0度(图8)及倾角为40度(图12)的两个极端情形为例，当组树倾角为0度时，金属液在充填时的流动行为是先由模穴下方开始充填，最后才是充填模穴上面的部分。造成这种流动行为的原因不难理解，因为当组树倾角为0度时，作用于金属液的合力是斜向下的，所以金属液一流入模穴后就受合力的作用而向下充填，等模穴下方填满后再接着充填上面的部份。同时这种受力情形对金属液充填铸件上半部而言为一阻力，所以由此推测，若以这个条件对完整作测试时，可能容易在上方的叶片会造成充填不满的缺陷。 
Fig. 8 Simulated filling patterns for the tilt angle of 0° Fig.9 Simulated filling patterns for the tilt angle of 10°
 
Fig.10 Simulated filling patterns for the tilt angle of 20° Fig. 11 Simulated filling patterns for the tilt angle of 30°
Fig. 12 Simulated filling patterns for the tilt angle of 40°
接着观察组树倾角为40度的情形。此时金属液是先向模穴上方充填，最后才是充填模穴下方，和倾角为0度的情形恰好相反，而此时作用于金属液的合力是斜向上的，亦和倾角为0度时的情形相反。同样的，若以此条件对完整铸件作测试时，因为金属液在充填下半部时受到一个阻力，所以在下方铸件可能会造成充填不满的缺陷。所以说合力作用的方向和金属液充填流动的行为习习相关。
3.3进模口角度的影响解析
由3.1节的计算结果可以知道，在倾角为20度时金属液的受力几乎是垂直盘面的，也就是在各方向的分量是均匀的。因此可以预期在这个倾角的充填情形应该也是均匀的。然而若仔细观察图10的充填结果可以发现，金属液在后期虽然是均匀的充填模穴，可是在初期却是先向上充填，这个主要是因为入口速度方向的关系。所以说充填流动的行为除了受到合力作用的影响外还和入口速度的方向有关。由图2的示意图可以发现流道和水平线成15度的夹角，这个夹角将会使得金属液在充填模穴时有一个斜向上的初始速度。图13为不同组树倾角时的初始充填情形，由图中可以清楚发现，因为流道设计的关系，进模口的速度是斜向上的，而且随着倾角的增加，相对于壳模本身越斜向上。我们认为这种情形对金属液的均匀充填有不利的影响。有鉴于此，如果能改变流道设计，使金属液在充填时是垂直铸件方向的，定能使充填行为更为均匀。图14即为组树倾角为20度垂直进模口设计的充填情形，由图中可以发现，这种设计比原先的设计有更均匀的充填流动。
Fig.13 Initial filling patterns near the gate for various tilt angles
Fig. 14 Simulated filling pattern for the tilt angle of 20°and gate perpendicular to the casting
3.4 全铸件的灌模充填解析
由前述的讨论可知，对不含叶片的铸件而言，组树倾角为20度及垂直进模口的设计能得到均匀的充填行为，所以接着本研究就以这个条件对完整铸件作充填测试，完整铸件包括涡轮盘片及周围的29个叶片。图15是完整铸件的充填结果。由图15的结果可以清楚看到，在这个条件下确实能均匀充填铸件，而且铸件末端每个叶片完整充满的可能性将大为提升。
Fig. 15 Simulated filling pattern for the whole casting with tilt angle of 20°and gate perpendicular to the casting
四、结论
本研究成功的开发一个能计算离心铸造的数学模式，在此模式中包含了两个模块，一个是计算离心力的模块，另一个为模流充填模块。本研究同时以此数学模式为工具针对涡轮叶片组在离心铸造制程中组树倾角的影响作探讨。本研究共分析了五种不同倾角条件，分别为0、10、20、30及40度。由计算出来的流场结果可知，不同的组树倾角对充填的流动有很大的影响，随着倾角由0度增加到40度时，充填的模式是从先充填模穴下面再充填模穴上方变成充充填模穴上方再充填模穴下面，同时在组树倾角为20度时有较佳的流场分布。除了组树倾角外，入模口速度的方向亦对充填模式有一定的影响，若能更改流道设计使入模口的速度和盘片垂直的话，则在组树倾角为20度时能得到更均匀的充填行为。
五、参考文献
(1) J. S. Tu, R. K. Foran, A. M. Hines, and P. R. Aimone, “An Integrated Procedure for Modeling Investment Castings “, Journal of Metal, Vol. 47(10), P64-68, 1995.
(2) J. C. Gebelin and M. R. Jolly, “Modelling of The Investment Casting Process”, Journal of Materials Processing Technology, Vol. 135, P291-300, 2003.
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(9) W. S. Hwang and R. A. Stoehr "Fluid Flow Modeling for Computer-Aided Design of Castings", Journal of Metals, October, P22-29, 1983.
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